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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 02.04.2008 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Berechne für [mm] F.\IR^2 \to \IR^3, [/mm] (x,y) [mm] \to (x^2-y, [/mm] x-y,x)
die Jacobimatrix und wenn [mm] g:\IR^3 \to \IR^2, [/mm] (u,v,w) [mm] \to [/mm] (v, w) ist, [mm] J_g\circ [/mm] f |
Dann ist doch
J(x,y)= [mm] \pmat{ 2x & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
J(u,v,w)= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wenn ich dann als nächstes die Verknüpfung von g und f ausrechne, muss ich doch in die Jacobimatrix J(u,v,w) die Werte von f(1,1) einsetzen, und dann noch mit J(x,y)m multiplizieren,oder?? WEnn ich die Werte in f(x,y) einsetze erhalte ich:
f(1,1)=(0,0,1). In der Jacobimatrix von g sind aber keine Variablen mehr, die ich ersetzen kann. Bleibt dann einfach übrig:
J(u,v,w)= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] J(x,y)= [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
und das dann noch multiplizieren!?
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Hallo blinktea,
> Berechne für [mm]F.\IR^2 \to \IR^3,[/mm] (x,y) [mm]\to (x^2-y,[/mm] x-y,x)
> die Jacobimatrix und wenn [mm]g:\IR^3 \to \IR^2,[/mm] (u,v,w) [mm]\to[/mm]
> (v, w) ist, [mm]J_g\circ[/mm] f
> Dann ist doch
> J(x,y)= [mm]\pmat{ 2x & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> J(u,v,w)= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Wenn ich dann als nächstes die Verknüpfung von g und f
> ausrechne, muss ich doch in die Jacobimatrix J(u,v,w) die
> Werte von f(1,1) einsetzen, und dann noch mit J(x,y)m
> multiplizieren,oder?? WEnn ich die Werte in f(x,y) einsetze
> erhalte ich:
> f(1,1)=(0,0,1). In der Jacobimatrix von g sind aber keine
> Variablen mehr, die ich ersetzen kann. Bleibt dann einfach
> übrig:
>
> J(u,v,w)= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] J(x,y)= [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> und das dann noch multiplizieren!?
Das kannst Dir auch selber beantworten:
[mm]F:\pmat{x \\ y} \to \pmat{x^{2}-y \\ x-y \\ y}=}=\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right) \\ f_{3}\left(x,y\right)} [/mm]
[mm]g:\pmat{u \\ v \\ w} \to \pmat{v \\ w}=\pmat{g_{1}\left(u,v,w\right) \\ g_{2}\left(u,v,w\right)}[/mm]
Dann ist [mm]g \circ F=g\left(F\left(x,y\right)\right)=g\left(f_{1}\left(x,y\right), \ f_{2}\left(x,y\right),\ f_{3}\left(x,y)\right)\right)=\pmat{g_{1}\left(f_{1}\left(x,y\right), \ f_{2}\left(x,y\right),\ f_{3}\left(x,y)\right) \\ g_{2}\left(f_{1}\left(x,y\right), \ f_{2}\left(x,y\right),\ f_{3}\left(x,y)\right)}[/mm]
Davon ist jetzt die Jacobi-Matrix zu bestimmen:
Es gilt nach der Kettenregel:
[mm]g_{x}=\pmat{g_{1}_{x} \\ g_{2}_{x}}=\pmat{ {g_{1}}_{f_{1}} * {f_{1}}_{x} + {g_{1}}_{f_{2}} * {f_{2}}_{x} + {g_{1}}_{f_{3}} * {f_{3}}_{x} \\ {g_{2}}_{f_{1}} * {f_{1}}_{x} + {g_{2}}_{f_{2}} * {f_{2}}_{x} + {g_{2}}_{f_{3}} * {f_{3}}_{x}}=\pmat{{g_{1}}_{f_{1}} & {g_{1}}_{f_{2}} & {g_{1}}_{f_{3}} \\ {g_{2}}_{f_{1}} & {g_{2}}_{f_{2}} & {g_{2}}_{f_{3}} }* \pmat{{f_{1}}_{x} \\ {f_{2}}_{x} \\ {f_{3}}_{x}}[/mm]
[mm]g_{y}=\pmat{g_{1}_{y} \\ g_{2}_{y}}=\pmat{ {g_{1}}_{f_{1}} * {f_{1}}_{y} + {g_{1}}_{f_{2}} * {f_{2}}_{y} + {g_{1}}_{f_{3}} * {f_{3}}_{y} \\ {g_{2}}_{f_{1}} * {f_{1}}_{y} + {g_{2}}_{f_{2}} * {f_{2}}_{y} + {g_{2}}_{f_{3}} * {f_{3}}_{y}}=\pmat{{g_{1}}_{f_{1}} & {g_{1}}_{f_{2}} & {g_{1}}_{f_{3}} \\ {g_{2}}_{f_{1}} & {g_{2}}_{f_{2}} & {g_{2}}_{f_{3}}} * \pmat{{f_{1}}_{y} \\ {f_{2}}_{y} \\ {f_{3}}_{y}} [/mm]
Insgesamt also:
[mm]\pmat{{g_{1}}_{x} & {g_{1}}_{y} \\ {g_{2}}_{x} & {g_{2}}_{y} }=\pmat{{g_{1}}_{f_{1}} & {g_{1}}_{f_{2}} & {g_{1}}_{f_{3}} \\ {g_{2}}_{f_{1}} & {g_{2}}_{f_{2}} & {g_{2}}_{f_{3}}} * \pmat{{f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{y} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{y} \\ {f_{3}}_{x} & {f_{3}}_{y}}[/mm]
Daher sind die Jacobi-Matrizen von f und g zu multiplizieren.
Gruß
MathePower
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