Jordan Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Fr 23.07.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Geben Sie die Jordan-Normalform für jede der Matrizen
a) [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 4 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 1 & 0 & -12 \\ 0 & 1 & 6}
[/mm]
an und bestimmen Sie jeweils ein S, so dass [mm] S^{-1}BS [/mm] Jordan-Normalform hat |
hallo zusammen,
mein erstes problem bei der aufgabe ist, dass ich nicht weiß wie man die jordan normalform erhält.
gibts da eine art rezept nachdem man vorgeht ? ich hab schon gegoogelt aber habs nicht verstanden.
lg
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Damit solltest Du klar kommen:
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Fr 23.07.2010 | | Autor: | meep |
danke fred für den link,
da war ich schon drauf habs zwar da nicht ganz verstanden aber ich werd mal versuchen nach genau dem schema vorzugehen
zu a)
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 4 }
[/mm]
Nun die Eigenwerte der Matrix berechnen
det(A-xE) = [mm] \vmat{ 2-x & 1 \\ -1 & 4-x } [/mm] = [mm] (x-3)^2
[/mm]
So nun berchne ich
dimKern(A-3E) und da hatte ich 1 heraus
und bei [mm] dimKern(A-3E)^2 [/mm] hatte ich 0 heraus
nur wie bau ich nun meine Jordan Normalform zusammen ? wo kommen da immer die 1en neben der Hauptdiagonalen her ? Mal sind die 1en über manchmal unter der Hauptdiagonalen das versteh ich nicht.
lg
meep
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Hi
> danke fred für den link,
>
> da war ich schon drauf habs zwar da nicht ganz verstanden
> aber ich werd mal versuchen nach genau dem schema
> vorzugehen
>
> zu a)
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 4 }[/mm]
>
> Nun die Eigenwerte der Matrix berechnen
>
> det(A-xE) = [mm]\vmat{ 2-x & 1 \\ -1 & 4-x }[/mm] = [mm](x-3)^2[/mm]
>
das stimmt. Du weißt schon in der gesuchten JordanMatrix musst du schon einmal ein 2x2 Teil dem Eigenwert 3 zuordnen. Die Aussage ist zwar hier sinnlos aber i.a. hilfreich. Bei [mm](x-3)^2(x+1)[/mm] wäre der eizuplanende Platz zum EW 3 der Größe 2x2 und zum EW -1 der Größe 1x1.
> So nun berechne ich
>
> dimKern(A-3E) und da hatte ich 1 heraus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier weißt du es gibt nur ein Jordankästchen zum Eigenwert 3
Jetzt könntest du schon die J-Matrix aufschreiben:
[mm] $\pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 3 }$ [/mm] oder [mm] $\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 }$
[/mm]
>
> und bei [mm]dimKern(A-3E)^2[/mm] hatte ich 0 heraus ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist Quatsch, da die Dimension der Kerne wächst! [mm] $Ker(f)\subset Ker(f^2)\subset Ker(f^3)\subset Ker(f^4)\subset \ldots Ker(f^n) [/mm] = [mm] Ker(f^{n+1})$
[/mm]
[mm]dimKern(A-3E)^2=0[/mm] Daher ist die Dimension des Kerns 2!
>
> nur wie bau ich nun meine Jordan Normalform zusammen ?
Wie im Kochrezept
[mm] $E_3=\pmat{ -1 & 1 \\ -1 & 1 }\to \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
[mm] $\ker(E_3):(1,1)=:a_1$
[/mm]
[mm] $E_3^2=\ldots [/mm] $
[mm] $\ker(E_3):(1,0)=:a_2$
[/mm]
[mm]
\pmat{ | & | \\ a_2 & E_3 \cdot a_2 \\ | & | }^{-1}\cdot A \cdot \pmat{ | & | \\ a_2 & E_3 \cdot a_2 \\ | & | }=\pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 3 }
[/mm]
> wo
> kommen da immer die 1en neben der Hauptdiagonalen her ? Mal
> sind die 1en über manchmal unter der Hauptdiagonalen das
> versteh ich nicht.
ob die Einsen über oder unter der Hauptdiagonale sind ist geschmackssache. Das hängt davon ab bezgl welcher Basis du deine Jordanmatrix bauen möchtest: Bei mir
[mm]S^{-1}AS=\pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 3 }\Rightarrow \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }S^{-1}AS\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 }[/mm]
Das ist also nur eine einfach Umordnung der Basisvektoren.
>
> lg
>
> meep
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