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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 05.10.2010 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Überprüfen sie folgende Funktion f: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] auf komplexe Differenzierbarkeit und geben sie die Ableitung in den Punkten an in denen sie existiert.
$f(z) = x + i [mm] \cdot x^2 \cdot \cos(x)$ [/mm] mit z = x+ iy |
Guten Abend,
ich hätte seit langem wieder mal eine Frage.
Ich sage euch mal kurz mein Vorgehen:
f ist komplex differnezierbar, genau dann wenn f total differnzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differnezialgleichungen erfüllt.
Punkt 1: f total differnezierbar.
Teile f auf Realteil und Imaginärteilfunktion
u(x,y) = x und v(x,y) = [mm] x^2 \cdot [/mm] cos(x)
Es ist leicht zu erekennen, dass f total differenzierbar ist...das ist mir auch noch klar!
Punkt 2: Cauchy-Riemannschen DGL:
[mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial v}{\partial y}
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial u}{\partial y} [/mm] = - [mm] \frac{\partial v}{\partial x} [/mm]
Ich überprüfe das:
[mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = 1
und [mm] \frac{\partial v}{\partial y} [/mm] = -sin(y) [mm] \cdot x^2
[/mm]
[mm] \frac{\partial u}{\partial y} [/mm] = 0
und - [mm] \frac{\partial v}{\partial x} [/mm] = -2x [mm] \cdot [/mm] cos(y)
Erstmal zum zweiten teil. Die sind erfüllt, wenn
0 = -2x [mm] \cdot [/mm] cos(y)
Das ist der Fall wenn x = 0 oder y = (2k+1) [mm] \cdot \pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Zum ersten Teil. Die sind erfüllt, wenn
1 = -sin(y) [mm] \cdot x^2
[/mm]
Das ist der Fall, wenn x = +1 oder -1 ist (egal)
und y = [mm] \frac{-\pi + k}{2} [/mm] mit k [mm] \in 4\IZ
[/mm]
Insgesamt erhalte ich, dass die Cauchy-Riemannschen DGL erfüllt sind in den Punkten
(+/- x , [mm] \frac{-\pi + k}{2} [/mm] mit k [mm] \in 4\IZ [/mm] )
Als komplexe Ableitung erhält man dann:
f'(z) = +/- 1 + i [mm] \cdot [/mm] (-2x)cos(y)
Meine Frage ist nun, ob meine Rechnung so einigermaßen stimmt.
Ich hoffe jeder Schritt ist nachvollziehbar.
Würde mich über ein Antwort freuen.
Liebe Grüße und schönen Abend
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Di 05.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tina!
> Überprüfen sie folgende Funktion f: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] auf
> komplexe Differenzierbarkeit und geben sie die Ableitung in
> den Punkten an in denen sie existiert.
>
> [mm]f(z) = x + i \cdot x^2 \cdot \cos(x)[/mm] mit z = x+ iy
Soll das wirklich [mm] $\cos \mathbf{x}$ [/mm] sein? Weiter unten rechnest du mit [mm] $\cos \mathbf{y}$.
[/mm]
Ich nehme mal an, dass y gemeint ist.
> Guten Abend,
> ich hätte seit langem wieder mal eine Frage.
>
> Ich sage euch mal kurz mein Vorgehen:
> f ist komplex differnezierbar, genau dann wenn f total
> differnzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen
> Differnezialgleichungen erfüllt.
>
> Punkt 1: f total differnezierbar.
> Teile f auf Realteil und Imaginärteilfunktion
>
> u(x,y) = x und v(x,y) = [mm]x^2 \cdot[/mm] cos(x)
> Es ist leicht zu erekennen, dass f total differenzierbar
> ist...das ist mir auch noch klar!
>
> Punkt 2: Cauchy-Riemannschen DGL:
>
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{\partial v}{\partial y}[/mm]
>
> und
> [mm]\frac{\partial u}{\partial y}[/mm] = - [mm]\frac{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> Ich überprüfe das:
>
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}[/mm] = 1
>
> und [mm]\frac{\partial v}{\partial y} = -sin(y) \cdot x^2[/mm]
>
>
> [mm]\frac{\partial u}{\partial y}[/mm] = 0
>
> und - [mm]\frac{\partial v}{\partial x}[/mm] = -2x [mm]\cdot[/mm] cos(y)
>
> Erstmal zum zweiten teil. Die sind erfüllt, wenn
>
> [mm]0 = -2x \cdot cos(y)[/mm]
>
> Das ist der Fall wenn x = 0 oder y = (2k+1) [mm]\cdot \pi[/mm] mit
> k [mm]\in \IZ[/mm]
Nicht ganz richtig: $x=0$ oder $y = [mm] \red{\bruch{1}{2}}(2k+1) \pi [/mm] $ .
> Zum ersten Teil. Die sind erfüllt, wenn
>
> 1 = -sin(y) [mm]\cdot x^2[/mm]
>
> Das ist der Fall, wenn x = +1 oder -1 ist (egal)
>
> und y = [mm]\frac{-\pi + k}{2}[/mm] mit k [mm]\in 4\IZ[/mm]
Da fehlt noch der Faktor [mm] $\pi$ [/mm] hinter dem k, also [mm]y = \frac{-\pi + k\pi}{2}[/mm] mit [mm] k \in 4\IZ[/mm]
Ich finde es einfacher wenn du schreibst
[mm] y = \bruch{1}{2} \pi (4 k -1 ) [/mm], [mm] k\in\IZ[/mm],
was äquivalent ist zu
[mm]y = \bruch{1}{2} \pi (4 k +1 )[/mm] , [mm] k\in\IZ[/mm].
Dann sieht man leichter, dass alos diese Werte von y auch die andere Gleichung $y = [mm] \bruch{1}{2}(2k+1) \pi [/mm] $ erfüllen.
>
> Insgesamt erhalte ich, dass die Cauchy-Riemannschen DGL
> erfüllt sind in den Punkten
> (+/- x , [mm]\frac{-\pi + k}{2}[/mm] mit k [mm]\in 4\IZ[/mm] )
Nicht [mm] $\pm [/mm] x$, sondern [mm] $\pm [/mm] 1$ !
>
>
> Als komplexe Ableitung erhält man dann:
>
> f'(z) = +/- 1 + i [mm]\cdot[/mm] (-2x)cos(y)
Wie kommst du zu diesem Ergebnis? Die Formel ist doch:
[mm] f'(x+iy) = \bruch{\partial u}{\partial x} - i \bruch{\partial u}{\partial y} = \bruch{\partial v}{\partial y} + i \bruch{\partial v }{\partial x} [/mm] .
Wenn du [mm] $\bruch{\partial u}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial u}{\partial y}$ [/mm] einsetzt, kommt 1 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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