Konstanten --> Differenzierbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mi 14.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
"Bestimme die Konstanten a und b so, dass die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} cos(x) + e^{x}, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \\ a*(1+x)^{2009} + b*e^{-x}, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
stetig differenzierbar ist."
Naja ich dachte das sieht ja einfach aus: Limes gegen Null und mit der ersten Funktion für Limes gegen Null vergleichen.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] cos(x) + [mm] e^{x} [/mm] = 2
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} a*(1+x)^{2009} [/mm] + [mm] b*e^{-x} [/mm] = a + b
1.) 2 = a + b
Fürs erste ist das in der Lösung auch gemacht, so wie ichs gemacht habe, jetzt aber tut man da noch mehr:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] f(x)
Das leuchtet noch ein!
Aber das leuchtet bei mir nicht mehr ein:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] -sin(x) + [mm] e^{x} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] 2009*a*(1+x) - [mm] b^{-x} [/mm] = 2009a - b
2.) 2009a - b = 1
Der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f(x) ist doch
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] cos(-x) + [mm] e^{-x} [/mm] = 2,
Wo kommt den der -Sinus her??? Okay das ist die Ableitung, aber das hat ja nichts mit f(x) zu tun und es steht auch nichts in der Lösung von ableiten.
Danke.
Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 14.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> "Bestimme die Konstanten a und b so, dass die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} cos(x) + e^{x}, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \\ a*(1+x)^{2009} + b*e^{-x}, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> stetig differenzierbar ist."
>
> Naja ich dachte das sieht ja einfach aus: Limes gegen Null
> und mit der ersten Funktion für Limes gegen Null
> vergleichen.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] cos(x) + [mm]e^{x}[/mm] = 2
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} a*(1+x)^{2009}[/mm] + [mm]b*e^{-x}[/mm] = a + b
>
> 1.) 2 = a + b
Wenn das gilt, ist die Funktion also stetig. (Jedoch noch nicht umbedingt stetig differenzierbar!)
> Fürs erste ist das in der Lösung auch gemacht, so wie
> ichs gemacht habe, jetzt aber tut man da noch mehr:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}[/mm]
> f(x)
>
> Das leuchtet noch ein!
> Aber das leuchtet bei mir nicht mehr ein:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] -sin(x) + [mm]e^{x}[/mm] = 1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] 2009*a*(1+x) - [mm]b^{-x}[/mm] = 2009a - b
>
> 2.) 2009a - b = 1
>
> Der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] f(x) ist doch
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] cos(-x) + [mm]e^{-x}[/mm] = 2,
>
> Wo kommt den der -Sinus her??? Okay das ist die Ableitung,
> aber das hat ja nichts mit f(x) zu tun und es steht auch
> nichts in der Lösung von ableiten.
Nun, du willst zeigen, dass auch die Ableitung von $f$ stetig ist (und ueberhaupt definiert ist). Links und rechts von 0 ist das kein Problem. Jetzt musst du zeigen, dass linksseite Ableitung und rechtsseitige Ableitung von $f$ in 0 uebereinstimmen. Da links und rechts von 0 die Funktion ableitbar ist, betrachtest du dazu [mm] $\lim_{x \to 0+} [/mm] f'(x)$ und [mm] $\lim_{x\to0-} [/mm] f'(x)$: die muessen dazu gleich sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 14.07.2010 | | Autor: | B-Ball |
Hey!
ALso stetig differenzierbar heißt ja, dass deine Ableitung wiederum stetig sein soll! Daher kommen in Teil 2 die beiden Ableitungen, aber wieso die da e^-x und das hoch 2008 weggelassen haben weiß ich nicht. Es macht zwar keinen Unterschied, aber naja...
auf jedenfall bekommst du so zwei gleichungen mit jeweils zwei mal den selben unbekannten a und b und kannst diese so enfach lösen...
Ich geb´s zu ich bin mir aufgrund der Tatsache dass da das hoch 2008 und das e^-x fehlt auch nicht ganz sicher, aber wenn man davon den limes für x--> Null bildet macht das ja keinen unterschied, dnen e^-0= 1 und 1^2008=1.
Wenn jemand eine bessere Lösung hat bitte weiter melden...=)
Gruß
B-Ball
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mi 14.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke euch. Der Schreiber wird es schon stark vereinfacht haben...
Es ist wirklich "lim f(x)" anstelle "lim f'(x)" gestanden. Muss ein fehler sein.
Schönen Tach...
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