Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Mi 15.10.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Beweise, dass durch
[mm]f(z)= \sum_{n=1}^{\infty}\bruch{cos n}{n^z}[/mm]
in der Halbebene{z Element von C: Re z>1} eine holomorphe Funktion f definiert ist. |
Guten Morgen erstmal!
Ich verstehe, dass ich [mm]f(z)= \sum_{n=1}^{\infty}cos (n) e^{-z log n} [/mm]schreiben kann.
Da n bei log n eine natürliche Zahl ist, habe ich keine Probleme mit log.
Als nächstes betrachte ich die Partialsummen:
[mm]f_m(z)= \sum_{n=1}^{\infty}cos(n) e^{-z log n}[/mm]
Was muss ich jetzt zeigen oder wie muss ich weiter vorgehen und warum?
Aufgaben von diesem Typ sind mir völlig unklar.
Hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
Grüße TTaylor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei z [mm] \in \IC [/mm] , Re(z)>1, z = x+iy (x,y [mm] \in \IR) [/mm] ,also x>1.
Rechne bitte nach, dass [mm] |\bruch{cos(n)}{n^z}| \le \bruch{1}{n^x}.
[/mm]
Da x>1, konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^x}.
[/mm]
Also ist Deine vorgelegte Reihe für Re(z)>1 punktweise konvergent.
Zeige jetzt, dass sie im Gebiet G : = {z [mm] \in \IC: [/mm] Re(z) >1} auch noch lokal gleichmäßig konvergiert,
Nach dem Konvergenzsatz von Weierstraß stellt die Reihe dann auf G eine holomorphe Funktion dar.
FRED
|
|
|
|
