Konvergenz verdichteter Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 11.11.2008 | | Autor: | zipp |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine monoton fallende Folge reeller Zahlen [mm] \ge [/mm] 0.
Zeige: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn die verdichtete Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{n}x_{2^{n}} [/mm] konvergiert. |
Guten Abend, gute Leute. Ich habe vor kurzem so eine Aufgabe gekriegt. Über Konvergenz selbst weiß ich kaum und dann noch dazu das Wort "verdichtete" haben mich überhaupt gedankenlos gemacht. Daher bitte ich euch um die Hilfe. Wenigstens paar Tipps zur Lösung. Danke
Grüß
Oleg
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:44 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](x_{n})[/mm] eine monoton fallende Folge reeller Zahlen [mm]\ge[/mm]
> 0.
> Zeige: Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} x_{n}[/mm] konvergiert
> genau dann, wenn die verdichtete Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2^{n}x_{2^{n}}[/mm] konvergiert.
> Guten Abend, gute Leute. Ich habe vor kurzem so eine
> Aufgabe gekriegt. Über Konvergenz selbst weiß ich kaum und
> dann noch dazu das Wort "verdichtete" haben mich überhaupt
> gedankenlos gemacht. Daher bitte ich euch um die Hilfe.
> Wenigstens paar Tipps zur Lösung. Danke
na, "lustigerweise" kann man hier die Konvergenz der Ausgangsreihe mit einer anderen Reihe feststellen. Dass man bei dieser von einer verdichteten spricht, ist deshalb so, da bei der zweiten Reihe nur jeder [mm] $2^n$-te [/mm] Summand der Ausgangsreihe auftaucht; allerdings hat man da einen Vorfaktor [mm] $2^n$ [/mm] bei diesen Summanden, deshalb spricht man da von einer verdichteten Reihe. (Es ist weniger wichtig, dass Du verstehst, wieso man die Reihe verdichtete Reihe nennt. Vielmehr ist es wichtig, dass Du dieses Kriterium inhaltlich verstehst und auch anzuwenden weißt. Diesen Satz nennt man auch den Cauchyschen Verdichtungssatz (oder Verdichtungskriterium), also das Wort "verdichtet" sollte man sich schon behalten, wenn man es wirklich mal nachschlagen müssen sollte. Aber Du wirst es eh sicher so oft benutzen, dass sich dieses Kriterium unter diesem Namen bei Dir abspeichern wird.  )
Der Beweis ist eigentlich sehr einfach (und wenn man den Beweis versteht, versteht man die Namensbezeichnung der zweiten Reihe auch besser), man muss nur die Voraussetzungen benutzen und mit dem Majorantenkriterium arbeiten.
Einen Beweis findest Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier in Satz 6.8.
(Dass man das dort noch mit der Monotonie und Beschränktheit von Folgen macht, liegt daran, dass in dem Skript an dieser Stelle das Majo-Kr. noch nicht zur Verfügung gestanden hat.)
Der Beweis zeigt in 1.: Wenn die verdichtete Reihe konvergiert, dann auch die ursprüngliche (das wäre in der Formulierung des Satzes die "Rückrichtung").
In 2.: Wenn die ursprüngliche Reihe konvergiert, dann auch die verdichtete Reihe (das wäre die "Hin-Richtung").
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 12.11.2008 | | Autor: | zipp |
Ok. Danke für schnelle Antwort.
Ich hab nur noch eine kleine Frage.
Beschränktheit und Konvergenz ist doch das selbe ? Oder irre ich mich wieder ? Kann mir jemand vielleicht sagen (am besten mit einem Beispiel), wo der Unterschied liegt, zwischen "eine Folge ist beschränkt" und "eine Folge konvergiert"?
Danke im Voraus
Grüß
Oleg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Jede konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung ist aber i.a. falsch.
Die Folge [mm] ((-1)^n) [/mm] ist beschränkt aber nicht konvergent.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo zip,
> Ok. Danke für schnelle Antwort.
> Ich hab nur noch eine kleine Frage.
> Beschränktheit und Konvergenz ist doch das selbe ? Oder
> irre ich mich wieder ? Kann mir jemand vielleicht sagen (am
> besten mit einem Beispiel), wo der Unterschied liegt,
> zwischen "eine Folge ist beschränkt" und "eine Folge
> konvergiert"?
dass das i.a. nicht der Fall sein wird, hat Fred ja schon erläutert. Wenn Du allerdings monotone Folgen hast, dann ist das in der Tat das gleiche (dann sollte man natürlich monotone Folgen, die gegen [mm] $\infty$ [/mm] (oder [mm] $-\infty$) [/mm] streben, nicht als konvergent gegen [mm] $\infty$ [/mm] (oder [mm] $-\infty$) [/mm] bezeichnen, sondern besser als bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$ [/mm] (oder [mm] $-\infty$)). [/mm] Aber i.a. hat man ja keine so schöne Folgen, Fred's Beispielfolge ist ja alles andere als monoton
Warum ist das bei monotonen Folgen äquivalent?
Naja, ist eine Folge monoton und beschränkt, so liefert der Hauptsatz für monotone Folgen die Konvergenz der Folge.
Ist umgekehrt eine (reellwertige) Folge konvergent, so ist sie insbesondere beschränkt. Also ist auch jede Folge, die monoton und konvergent ist, insbesondere beschränkt.
Also:
Konvergenz und Beschränktheit sind i.a. zwei ganz verschiedene Dinge (siehe nochmal Freds Folge). Aber unter der Zusatzvoraussetzung, dass man nur monotone Folgen meine, ist es dann doch wieder das gleiche. Aber mit der Zusatzvoraussetzung "filtert" man natürlich auch nur einen (kleine) Teilmenge der Menge aller reellwertigen Folgen heraus.
Gruß,
Marcel
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