Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 25.11.2005 | | Autor: | momi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt Sei [mm] a_{n} [/mm] mit n [mm] \inN [/mm] eine Folge die gegen a konvergiert und sei
[mm] b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{n}a_{i}.
[/mm]
Zeige, dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] konvergiert.
Also zunächst mal komme ich darauf, dass die folge bzw. Reihe b gegen a konvergiert. (kann ich hier überhaupt direkt sagen, dass es eine Reihe ist?).
habe mir auch Gedanken dazu gemacht. also bisher hab ichfolgende Ideen:
[mm] b_{n}=1/n(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n})
[/mm]
nun behaupte ich, dass [mm] b_{n}-a \to0 [/mm] konvergiert.
ich schreibe für [mm] a_{1}=a_{1}-a+a [/mm] und setze ein dann folgt ja
[mm] b_{n}-a=1/n(a_{1}-a+a_{2}-a+...+na)-a
[/mm]
[mm] =1/n(a_{1}-a+a_{2}-a+...a_{n}-a)
[/mm]
wenn ich jetzt jeden einzelnen summanden anschaue dann folgt
[mm] 1/n(a_{1}-a) \to0
[/mm]
[mm] 1/n(a_{2}-a) \to0
[/mm]
[mm] ...1/n(a_{n}-a) \to0
[/mm]
da ja die Folgenglieder fest bleiben und sich das n nur vergrößert.
Gleichzeitig vergrößert sich aber auch die Summe bei wachsendem n immer weiter um ein folgenglied nämlich [mm] 1/n+1(a_{n+1}-a), [/mm] dieses konvergiert aber natürlich auch gegen 0.
jetzt ist das natürlich alles ein wenig wage, daraus zu folgern dass diese ganze summe gegen 0 konvergiert. Ich weiß ja dass die Summe zweier konvergente Reihen die jeweils gegen a und b konvergiereren gegen a+b konvergieren . Aber hier hab ich ja eine unendliche Reihe, die sich ja auch immer weiter um einen kleineren Summanden erweitert, jeder dieser Summanden konvergiert aber gegen 0. ich hoffe ihr versteh was ich meine.
weiß nicht ob dieser ansatz komplett falsch ist, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Fr 25.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo marcel
Du musst näher an der Def. bleiben und unbedingt benutzen dass gilt: für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein N1 so dass gilt: |an-a|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N1
Das kannst du in dein Argument einbauen:
Du musst beweisenes gibt N so dass [mm] |bn_a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N
und dieses Nmuss was mit N1 zu tun haben. Versuchs mal mit
[mm]b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{N1}a_{i}1/n\summe_{i=N1}^{n}a_{i}.[/mm] und dann den 2. Teil abschätzen mit an [mm] \le a+\varepsilon [/mm] ..... Der erste Teil ist ja feste Zahl/n geht also sicher gegen 0.
Allgemein kannst du Sätze, die für endliche Summen gelten nicht auf unendliche ausdehnen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt Sei [mm]a_{n}[/mm] mit n [mm]\inN[/mm] eine Folge die
> gegen a konvergiert und sei
> [mm]b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{n}a_{i}.[/mm]
> Zeige, dass die Folge
> [mm]b_{n}[/mm] konvergiert.
>
> Also zunächst mal komme ich darauf, dass die folge bzw.
> Reihe b gegen a konvergiert. (kann ich hier überhaupt
> direkt sagen, dass es eine Reihe ist?).
> habe mir auch Gedanken dazu gemacht. also bisher hab
> ichfolgende Ideen:
> [mm]b_{n}=1/n(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n})[/mm]
> nun behaupte ich, dass [mm]b_{n}-a \to0[/mm] konvergiert.
> ich schreibe für [mm]a_{1}=a_{1}-a+a[/mm] und setze ein dann folgt
> ja
> [mm]b_{n}-a=1/n(a_{1}-a+a_{2}-a+...+na)-a[/mm]
> [mm]=1/n(a_{1}-a+a_{2}-a+...a_{n}-a)[/mm]
>
> wenn ich jetzt jeden einzelnen summanden anschaue dann
> folgt
> [mm]1/n(a_{1}-a) \to0[/mm]
> [mm]1/n(a_{2}-a) \to0[/mm]
> [mm]...1/n(a_{n}-a) \to0[/mm]
>
> da ja die Folgenglieder fest bleiben und sich das n nur
> vergrößert.
> Gleichzeitig vergrößert sich aber auch die Summe bei
> wachsendem n immer weiter um ein folgenglied nämlich
> [mm]1/n+1(a_{n+1}-a),[/mm] dieses konvergiert aber natürlich auch
> gegen 0.
> jetzt ist das natürlich alles ein wenig wage, daraus zu
> folgern dass diese ganze summe gegen 0 konvergiert. Ich
> weiß ja dass die Summe zweier konvergente Reihen die
> jeweils gegen a und b konvergiereren gegen a+b konvergieren
> . Aber hier hab ich ja eine unendliche Reihe, die sich ja
> auch immer weiter um einen kleineren Summanden erweitert,
> jeder dieser Summanden konvergiert aber gegen 0. ich hoffe
> ihr versteh was ich meine.
Deine Gedanken sind richtig, aber du hast nicht eingebaut, dass an gegen a konvergiert. und so wie du argumentierst konvergiert auch die Summe über 1/i !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 26.11.2005 | | Autor: | momi |
> Hallo marcel
> Du musst näher an der Def. bleiben und unbedingt benutzen
> dass gilt: für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein N1 so dass
> gilt: |an-a|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n>N1
> Das kannst du in dein Argument einbauen:
> Du musst beweisenes gibt N so dass [mm]|bn_a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle n>N
> und dieses Nmuss was mit N1 zu tun haben. Versuchs mal mit
> [mm]b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{N1}a_{i}1/n\summe_{i=N1}^{n}a_{i}.[/mm]
> und dann den 2. Teil abschätzen mit an [mm]\le a+\varepsilon[/mm]
> ..... Der erste Teil ist ja feste Zahl/n geht also sicher
> gegen 0.
Also hab das jetzt versucht.
dann folgt also
[mm] b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(a_{N1}+a_{N1+1}+...a_{n})
[/mm]
<1/n [mm] \summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(a+ \varepsilon+a+ \varepsilon+a+ \varepsilon...a+ \varepsilon)
[/mm]
=1/n [mm] \summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(n-N1)(a+ \varepsilon)
[/mm]
=1/n [mm] \summe_{i=1}^{N1}a_{i}+a+\varepsilon-N1*a/n-N1*\varepsilon/n
[/mm]
jetzt könnt ichdoch dann argumentieren, dass bei wachsendem n der erste Summanden sowie die letzten beiden immer weiter gegen 0 konvergierern und es bleibt dann [mm] a+\varepsilon. [/mm] also konvergiert die summe insgesamt gegen a konvergiert da ich ja epsilon wegen der konvergenz von an beliebig klein werden lassen kann. nur hab ich dann noch die frage ob ich die anderen drei summanden einfach vernachlässigenkann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo momi!
Sieh mal hier (Teilaufgabe a.) [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]), da wurde Deine Frage schon mal behandelt (und soeben auch beantwortet ;-) ...).
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 26.11.2005 | | Autor: | momi |
hab mir auch jetzt den anderern Lösungsansatz angeschaut.
aber dort hab ich jetzt das Problem, dass doch zwar jeder dieser Summanden kleiner [mm] \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, [/mm] usw. ist, aber jedesmal wenn ich das n erhöhe erhöht sich auch die Anzahl der epsilon. so dass ich nicht gewiss sagen kann, bei steigendem n verkleinert sich die gesamtsummer aller epsilon insgesamt. also kann ich doch nicht allgemeingültig sagen, dass für beliebige epsilon größer null dieser Ausdruck kleiner wird.
oder seh ich das zu kompliziert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 26.11.2005 | | Autor: | MatthiasH |
Ich sitze mit einem Mathekollegen vor der gleichen Aufgabe. Wir haben uns den Querverweis durchgelesen, sind uns aber nicht sicher, ob die Wahl von [mm] \varepsilon [/mm] als Summe der [mm] \varepsilon_{1} [/mm] bis [mm] \varepsilon_{n} [/mm] so möglichlich ist, um die Konvergenz von [mm] b_{n} [/mm] zu zeigen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Sa 26.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo ihr 2
Ich hoffe, die Frage hat sich erledigt.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 26.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab einige meiner Gl. aus dem letzten posting leicht berichtigt
Du musst näher an der Def. bleiben und unbedingt
benutzen
es gilt: für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein N1 so dass
gilt: |an-a|< [mm]\varepsilon/2[/mm] für alle n>N1
Das kannst du in dein Argument einbauen:
Du musst beweisen:es gibt N so dass [mm]|bn_a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
für alle n>N
und dieses N muss was mit N1 zu tun haben. und man muss es aus den Vors. errechnen können!
Versuchs mal mit
> > [mm]b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{N1}a_{i}1/n+\summe_{i=N1+1}^{n}a_{i}.[/mm]
> > und dann den 2. Teil abschätzen mit an [mm]\le a+\varepsilon[/mm]
> > ..... Der erste Teil ist ja feste Zahl/n geht also sicher
> > gegen 0.
> Also hab das jetzt versucht.
> dann folgt also
> [mm]b_{n}:=1/n \summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(a_{N1+1}+a_{N1+2}+...a_{n})[/mm]
wenn du das hast, solltest du mit der Behauptung |bn-a|<|bn-a| anfangen:
[mm] |bn-a|=|\bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{N1}(a_{i}-a [/mm] ) + (N1*a [mm] +\summe_{i=N1+1}^{n}a_{i})-a| \le ||\bruch{1}{n}* \summe_{i=1}^{N1}(a_{i}-a [/mm] )| + |(N1*a [mm] +\summe_{i=N1+1}^{n}a_{i})-a| \le |\bruch{1}{n}*A(N1)|+|\bruch{\varepsilon}{2}-a|
[/mm]
jetzt endlich wählt man N so dass [mm] \bruch{1}{N}*A(N1) \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ist, also N =max(N1, [mm] 2*A(n1)/\varepsilon) [/mm] und ist fertig. ( [mm] \summe_{i=1}^{N1}(a_{i}-a [/mm] )=A(N1)
Die Zwischenschritte etwas ausführlicher, aber das solltest du selber hinkriegen
> <1/n [mm]\summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(a+ \varepsilon+a+ \varepsilon+a+ \varepsilon...a+ \varepsilon)[/mm]
>
> =1/n [mm]\summe_{i=1}^{N1}a_{i}+1/n(n-N1)(a+ \varepsilon)[/mm]
> =1/n
> [mm]\summe_{i=1}^{N1}a_{i}+a+\varepsilon-N1*a/n-N1*\varepsilon/n[/mm]
> jetzt könnt ichdoch dann argumentieren, dass bei
> wachsendem n der erste Summanden sowie die letzten beiden
> immer weiter gegen 0 konvergierern und es bleibt dann
> [mm]a+\varepsilon.[/mm] also konvergiert die summe insgesamt gegen a
> konvergiert da ich ja epsilon wegen der konvergenz von an
> beliebig klein werden lassen kann. nur hab ich dann noch
> die frage ob ich die anderen drei summanden einfach
> vernachlässigenkann.
Du denkst in der richtigen Richtung, musst aber wirklich immer die N, [mm] \varepsilon [/mm] Definition von Konvergenz verwenden, und nicht einfach von "vernachlässigen" reden. Was du damit meinst ist genau es kleiner als.... machen (hier kleiner als [mm] \varepsilon/2)
[/mm]
Das Vorgehen ist bei jedem Konvergenzbeweis nötig, der nicht ein anderes, vorher auf die Weise bewiesenes Kriterium benutzt.
Ich glaub Loddars Idee mit den vielen epsilons funktioniert auch nur, wenn man den ersten Teil der Summe, wo man über die Epsilons gar nichts weiss abtrennt. wenn an konvergiert, können die ersten paar Millionen oder so ai s soweit von a entfernt sein, wie sie wollen! deshalb ist es zwar nicht falsch [mm] a1-a=\varepsilon1 [/mm] zu schreiben, aber es suggeriert, dass [mm] \varepsilon1 [/mm] klein ist, obwohl man nichts darüber weiss. Sicher ist nur dass es endlich ist, und die Summe über endlich viele deshalb auch ne feste Zahl A ist.
Gruss leduart
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Ich habe die selbe Aufgabe folgendermaßen gelöst:
[mm] a_{n} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a [mm] \Rightarrow \exists N_{1}: |a_{n}-a [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
wähle [mm] N_{0} [/mm] = max [mm] \{N_{1}, \bruch{2}{\varepsilon} \summe_{i=1}^{N_{1}} | a_{i}-a| \} [/mm]
[mm] \forall [/mm] n> [mm] N_{0} [/mm] : | [mm] b_{n}-a| \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{i}-a| \le \bruch{1}{n} [/mm] * n * [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich befürchte, ich hab irgendwas übersehen und mal wieder viel zu einfach gedacht, sonst wäre der Beweis von oben sicherlich nicht so lang. Kann mir jemand meinen Fehler zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Susi
> Ich habe die selbe Aufgabe folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]a_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] a [mm]\Rightarrow \exists N_{1}: |a_{n}-a[/mm]
> | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> wähle [mm]N_{0}[/mm] = max [mm]\{N_{1}, \bruch{2}{\varepsilon} \summe_{i=1}^{N_{1}} | a_{i}-a| \}[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] n> [mm]N_{0}[/mm] : | [mm]b_{n}-a| \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}[/mm]
Hier fehlen doch ein paar Zwischenschritte, wie du zu dem Ergebnis kommst. und es geht sicher nicht, wenn du [mm] |a_{n}-a[/mm] [/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] nimmt. es darf höchstens [mm] \varepsilon/2 [/mm] sein.
> | [mm]a_{i}-a| \le \bruch{1}{n}[/mm] * n * [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
Kein Fehler, da ja keine Zwischenrechnung da ist, wie du auf dein Ergebnis kommst.
Gruss leduart
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