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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:23 Do 18.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Ein schmaler Streifen im [mm] \IR^2 [/mm] hat als Mittelllinie die Ellipse [mm] \epsilon [/mm] mit der Gleichung $ [mm] x^2/4 [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] $ =1 . DIe Breite des durch den Punkt (x,y) [mm] \in \epsilon [/mm] gehenden QUerschnittes sei [mm] (x^2+1)/100.
[/mm]
Mit Hilfe eines Kurvenintegrals berechne man eine Nährung für den Flächeninhalt des STreifens. |
[mm] \gamma(t)= \vektor{a cos(t) \\ b sin(t)}= \vektor{2 cos(t) \\ 1 sin(t)}= \vektor{x\\ y}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ' (t) = [mm] \vektor{- 2 sin(t) \\ cos(t)}
[/mm]
[mm] ||\gamma [/mm] ' (t)|| = [mm] \sqrt{ 4 sin^2 t + cos^2 t } [/mm] = [mm] \sqrt{x^2/4 + 4y^2}
[/mm]
[mm] \int_\gamma [/mm] f ds = [mm] \int_0^{2\pi} \frac{4 cos^2 (t) +1}{100} \sqrt{x^2/4 + 4y^2} [/mm] dt
Nun ist es sicher falsch wenn ich die Wurzel aus dem Integral rausziehe, da ja x und y auch von t abhängen.
Wie mache ich also am besten weiter?
LG
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Hallo Lu,
> [mm]\int_\gamma[/mm] f ds = [mm]\int_0^{2\pi} \frac{4 cos^2 (t) +1}{100} \sqrt{x^2/4 + 4y^2}[/mm]
> dt
>
> Nun ist es sicher falsch wenn ich die Wurzel aus dem
> Integral rausziehe, da ja x und y auch von t abhängen.
> Wie mache ich also am besten weiter?
1. Am besten x und y ebenfalls durch t ausdrücken.
2. Aus Symmetriegründen genügt es ein Viertel der Ellipse bzw. der Fläche zu betrachten.
3. Da es sich um ein elliptisches Integral handelt, ist es zweckmäßig numerisch zu integrieren. (Ich erhalte als Näherungswert: A [mm] \approx [/mm] 0,2597 Flächeneinheiten)
Vielleicht kennt hier ja jemand eine Möglichkeit, um auf "rechnerischem Wege" eine Näherungslösung zu erhalten. Deshalb lasse ich die Frage mal teilweise offen...
Schöne Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 18.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
$ [mm] \int_\gamma [/mm] $ f ds = 4 * [mm] \int_0^{\pi/4} \frac{4 cos^2 (t)}{100} \sqrt{4 sin^2 t + cos^2 t}
[/mm]
So kann ich es auch schreiben,aber was bringt mir das...
Wie berechne ich die Näherung des Integrals?
LG
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> Hallo,
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> [mm]\int_\gamma[/mm] f ds = 4 * [mm]\int_0^{\pi/4} \frac{4 cos^2 (t)}{100} \sqrt{4 sin^2 t + cos^2 t}[/mm]
>
> So kann ich es auch schreiben,aber was bringt mir das...
> Wie berechne ich die Näherung des Integrals?
>
> LG
Hi Lu- ,
da hast du im Zähler des Bruchterms den Summanden 1
vergessen.
Für eine Näherung kannst du z.B. die ![[]](/images/popup.gif) Simpson-Regel
verwenden. Unterteile das Intervall [mm] [0..\pi/4] [/mm] beispielsweise
in 8 gleichgroße Teilintervalle. Natürlich kann man (falls
erlaubt) zur numerischen Integration auch einen grafischen
Taschenrechner oder ein Online-Tool wie z.B. den
Wolfram Online Integrator verwenden.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Sa 20.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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