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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 03.02.2013 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Es sei $p$ ein nicht explizit bekanntes Polynom fünften Grades. Berechnungen für sechs unterschiedliche Stellen führen zu Näherungswerten [mm] $\tilde{p}(x)$ [/mm] für die entsprechenden exakten Werte $p(x)$. Es sei
[mm] $\tilde{p}(x)=p(x)$ [/mm] für $x=0,98,99,101,102$
und [mm] $\tilde{p}(x)=p(x)+\epsilon$ [/mm] für $x=100$.
Diese Angaben mögen nun als Stützwerte für das Interpolationspolynom [mm] $\tilde{p}(x)$ [/mm] dienen.
Berechnen Sie [mm] $|\tilde{p}(2)-p(2)|$. [/mm] |
Hallo,
wir haben zum Thema Interpolation in der Vorlesung bisher nur die Lagrange-Interpolationsformel durchgenommen. Daher habe ich damit begonnen [mm] $\tilde{p}(x)$ [/mm] mithilfe von Lagrange Polynomen zu berechnen. Dafür habe ich ein CA-System benutzt. Als Stützwerte habe ich die $x$-Werte $0,98,99,100,101,102$ und Stützstellen [mm] $p(0),p(98),p(99),p(100)+\epsilon,p(101),p(102)$ [/mm] benutzt. Das Ergebnis ist umfangreich. Da aber die Benutzung eines CA-Systems höchstens optional ist, liege ich wohl deutlich auf dem Holzweg. Was besseres fällt mir nur nicht ein.
davux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 So 03.02.2013 | | Autor: | davux |
Wir haben noch eine Methode zur Auswertung durchgenommen an der ich mich gerade noch probiert habe.
Diese beruht auf
[mm] $p(x)=\summe_{j=0}^{n} f_{j} L_{j}(x)=\summe_{j=0}^n f_{j} \bruch{\kappa_{j}}{x-x_j} q(x)=q(x)\summe_{j=0}^n \bruch{f_{j}\kappa_{j}}{x-x_{j}}$.
[/mm]
Zunächst bestimmt man alle
[mm] $\kappa_{j}=\produkt_{i=0,i\not=j}^{n}\bruch{1}{x_{j}-x_{i}}$.
[/mm]
Man möchte $p(x)=?$ wissen. ($p$ an der Stelle $x$ auswerten)
Dazu bestimmt man nun noch
[mm] $q(x)=\produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i})$
[/mm]
und setzt die Werte hier ein
[mm] $q(x)\summe_{j=0}^n \bruch{f_{j}\kappa_{j}}{x-x_{j}}$.
[/mm]
Das hatten wir nur an einem konkreten Beispiel durchgerechnet, wo alle Werte vorlagen. Ich habe es hier etwas allgemeiner formuliert.
Mein Ergebnis ist wiederum sehr umfangreich und lässt sich nicht wirklich vereinfachen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 04.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo davux,
> Es sei [mm]p[/mm] ein nicht explizit bekanntes Polynom fünften
> Grades. Berechnungen für sechs unterschiedliche Stellen
> führen zu Näherungswerten [mm]\tilde{p}(x)[/mm] für die
> entsprechenden exakten Werte [mm]p(x)[/mm]. Es sei
>
> [mm]\tilde{p}(x)=p(x)[/mm] für [mm]x=0,98,99,101,102[/mm]
> und [mm]\tilde{p}(x)=p(x)+\epsilon[/mm] für [mm]x=100[/mm].
>
> Diese Angaben mögen nun als Stützwerte für das
> Interpolationspolynom [mm]\tilde{p}(x)[/mm] dienen.
> Berechnen Sie [mm]|\tilde{p}(2)-p(2)|[/mm].
> Hallo,
>
> wir haben zum Thema Interpolation in der Vorlesung bisher
> nur die Lagrange-Interpolationsformel durchgenommen. Daher
> habe ich damit begonnen [mm]\tilde{p}(x)[/mm] mithilfe von Lagrange
> Polynomen zu berechnen. Dafür habe ich ein CA-System
> benutzt. Als Stützwerte habe ich die [mm]x[/mm]-Werte
> [mm]0,98,99,100,101,102[/mm] und Stützstellen
> [mm]p(0),p(98),p(99),p(100)+\epsilon,p(101),p(102)[/mm] benutzt. Das
> Ergebnis ist umfangreich. Da aber die Benutzung eines
> CA-Systems höchstens optional ist, liege ich wohl deutlich
> auf dem Holzweg. Was besseres fällt mir nur nicht ein.
Wenn ich $p(x) = [mm] ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ [/mm] setze und
[mm] $\tilde [/mm] p(x) = [mm] \tilde ax^5+\tilde bx^4+\tilde cx^3+\tilde dx^2+\tilde ex+\tilde [/mm] f$, kann ich versuchen die Koeffizienten
von [mm] $\tilde [/mm] p(x)$ durch die Koeffizienten von $p(x)$ auszudrücken.
Dazu setze ich die Werte 0, 98, 99, 101 und 102 in beide Polynome ein
und kann sie für jeweils den gleichen Wert gleich setzen.
100 auch einsetzen, aber hier gilt: [mm] $\tilde [/mm] p(100) = p(100) + [mm] \epsilon$.
[/mm]
Aus diesem Gleichungssystem lassen sich nacheinander [mm] $\tilde [/mm] f, [mm] \tilde [/mm] e, [mm] \ldots [/mm] , [mm] \tilde [/mm] a$
bestimmen in Abhängigkeit von $f, e, [mm] \ldots [/mm] , a$,
was dann auch Vorteile für [mm]|\tilde{p}(2)-p(2)|[/mm] hat.
>
> davux
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 04.02.2013 | | Autor: | davux |
Danke dir für die späte Antwort.
Ich habe gestern noch einen Ansatz verfolgt, der sich wiederum verlief. Dabei habe ich irgendwie versucht etwas zu ermitteln, was mir die Abstände zwischen [mm] $\tilde{p}(x)$ [/mm] und $p(x)$ liefert. Damit kam ich aber der Lösung schon relativ nahe.
Der Trick ist, man benutzt eine der Darstellungen der Lagrange-Interpolation, ob nun aus meiner Mitteilung zur effektiven Auswertung
[mm] $p(x)=q(x)\sum_{j=0}^n \bruch{f_j \kappa_j}{x-x_j}$
[/mm]
oder noch einfacher die ursprüngliche Form
[mm] $p(x)=\sum_{j=0}^n f_j L_j$.
[/mm]
Man kann [mm] $\tilde{p}(x)$ [/mm] und $p(x)$ also in dieser Form schreiben. Nun kann man die einzelnen Summanden betrachten, wo sich bis auf $j=3$ nach obiger Wahl der Stützstellen alle Summanden herausheben.
Es bleibt
[mm] $|\tilde{p}(2)-p(2)|=|q(2)(\bruch{\tilde{f}_3 \kappa_3}{2-x_3}-\bruch{f_3 \kappa_3}{2-x_3})|$
[/mm]
bzw.
[mm] $|\tilde{p}(2)-p(2)|=|q(2)(\bruch{\tilde{f}_3 \kappa_3-f_3 \kappa_3}{-98})|$
[/mm]
bzw.
[mm] $|\tilde{p}(2)-p(2)|=|q(2)(\bruch{\kappa_3(\tilde{f}_3-f_3)}{-98})|$,
[/mm]
wobei [mm] $\tilde{f}_3=p(100)+\epsilon$ [/mm] und [mm] $f_3=p(100)$. [/mm] Man berechnet noch [mm] $\kappa_3$ [/mm] und $q(2)$ nach den Formeln aus der Mitteilung und ist fertig.
Schließlich ergibt sich die Differenz, die lediglich von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängt.
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