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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm] unter Berücksichtigung der Nebenbedingung [mm]g(x,y)=2x^{2}+2y^{2}-2xy-1=0[/mm] |
Tja irgendwie hab ich mich bei der Aufgabe festgefahren...
Ich habe erstmal nach Lagrange die part. Ableitungen nach x y und L gebildet. Dann bin ich auf ein nichtlineares Gleichungssystem der Form gekommen:
I. [mm]2x+4 \lambda x -2 \lambda y = 0[/mm]
II. [mm]2y+4 \lambda y -2 \lambda x = 0[/mm]
III. [mm]2x^{2}+2y^{2}-2xy-1 = 0[/mm]
tjoa dann hab ich in den ersten beiden Gleichungen x und y ausgeklammert, habe das Ganze in eine matrix der Form hier verpackt:
[mm]
\begin{pmatrix}
2+4 \lambda & -2 \lambda \\
\lambda & 2+4 \lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
...und dann über die Determinante [mm]\lambda[/mm] berechnet
[mm]\lambda_{1/2}=-\bruch{1}{2}[/mm]
wenn ich das nun in die ausgangsgleichung einsetze komme ich auf x=y=0
sind meine Rechnungen soweit richtig? oder hab ich mich irgendwo vertan?
wie rechne ich nun weiter?
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Hallo,
ich nehme an, daß die Matrix eigentlich
$ [mm] \begin{pmatrix} 2+4 \lambda & -2 \lambda \\ -2\lambda & 2+4 \lambda \end{pmatrix} [/mm] $
heißen sollte.
Ich rate, daß Du die det =0 gesetzt hast und [mm] \lambda [/mm] berechnet.
Was sagt Dir dieses [mm] \lambda [/mm] eigentlich?
Es sagt Dir, daß für dieses [mm] \lambda [/mm] die Matrix nicht invertierbar ist. Was machst Du mit dieser Information?
(Dein errechnetes [mm] \lambda=-1/2 [/mm] ist wohl tatsächlich für dei verkehrte Matrix berechnet)
Gruß v. Angela
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sry ich seh bei deiner antwort nicht durch =/
liegt an der komischen formatierung...
mfg markus
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Ich hab' keine Ahnung, woran das liegt.
die vielen mmmm kommen, wenn ich Deinen Beitrag zitiere.
Ich habe keinen Nerv, die einzeln zu löschen.
Wie gesagt - und man kann das eigentlich ganz gut lesen - hast Du wohl mit der falschen Matrix gerechnet und folglich das falsche Ergebnis für [mm] \lambda [/mm] erhalten.
Außerdem riet ich Dir zu überlegen, was Du durchs Nullsetzen der det. bezweckst. Erreichten tust Du damit, daß Du weißt, für welches [mm] \lambda [/mm] Deine Matrix nicht invertierbar ist. Daß das wirklich Ziel Deiner Bemühungen war, daran habe ich Zweifel.
Gruß v. Angela
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nun ja also uns wurde so eine ähnliche aufgabe in der übung mal gezeigt
von daher hab ich mich an den rechenweg gehalten
eigentlich hab ich nicht wirklich ahnung...aber wiki sagt, das wenn die determinante der matrix ungleich null ist, dann hat das LGS eine eindeutige Lösung
ich glaube es hat auch was mit der invertierbarkeit der matrizen zu tun...
aber wo liegt den der Fehler in meiner matrize? nach der übung sehe ich da keinen Fehler drin... =/
mfg markus
PS: Ah jetzt sieht auch die erste antwort normal aus ^^
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Hallo,
ich hatte mich verrechnet:
[mm]\lambda_{1}=-\bruch{1}{3}[/mm]
[mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
mfg markus
PS: werde später weiter dran rechnen...muss erstmal auf arbeit =)
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> nun ja also uns wurde so eine ähnliche aufgabe in der übung
> mal gezeigt
>
> von daher hab ich mich an den rechenweg gehalten
Das ist ja prinzipiell ein kluges Verhalten.
Manchmal ist es hilfreich zu wissen, warum man etwas tut.
Das bewahrt einen vor Fehlern.
>
> eigentlich hab ich nicht wirklich ahnung...aber wiki sagt,
> das wenn die determinante der matrix ungleich null ist,
> dann hat das LGS eine eindeutige Lösung
Da hat wiki mal wieder recht. Das ist mit anderen Worten das, was ich über die Invertierbarkeit der Matrix gesagt hatte.
Du hast nun ja berechnet, daß für -1 und -1/3 die Matrix =0 wird.
Das bedeutet, daß es für diese Werte eben keine eindeutige Lösung des Gleichungssystems, welches aus den ersten beiden Gleichungen, die Du aus dem Gradienten gewannst gibt.
Diese Fälle müßt Du gesondert untersuchen, da wirst Du vermutlich weitere Punkte bekommen.
Dann hast Du weiter für [mm] -1/3\not=\lambda\not=-1 [/mm] die Lösung (0/0).
Gruß v. Angela
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so ich musste gestern ziemlich lang arbeiten aber jetzt gehts weiter =)
also ich war ja bei den beiden Lambdas stehen geblieben, bei denen die Lösung nicht trivial ist.
wenn ich jetzt mal so weiterrechne wie es uns gezeigt wurde komme ich auf diesen Rechenweg:
[mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] jeweils in die Ausgangsgleichungen 1 und 2 eingesetzt:
für [mm]\lambda_{1}=-\bruch{1}{3}[/mm]:
I. [mm]\bruch{2}{3}x+\bruch{2}{3}y=0[/mm]
II. [mm]\bruch{2}{3}y+\bruch{2}{3}x=0[/mm]
d.f.: [mm]x+y=0[/mm] --> [mm]x=\mu[/mm] und [mm]y=-\mu[/mm]
[mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}}=\mu \vektor{1\\ -1}[/mm]
eingesetzt in III.
[mm]2 \mu^{2}+2 \mu^{2}+2 \mu^{2}-1=0[/mm]
--> [mm]\mu_{1/2}=\pm \wurzel{\bruch{1}{6}} [/mm]
--> [mm] (x,y)=(\pm(\wurzel{\bruch{1}{6}},\wurzel{\bruch{1}{6}}),\pm(\wurzel{\bruch{1}{6}},-\wurzel{\bruch{1}{6}}))
[/mm]
analog für [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]:
I. [mm]-2x+2y=0[/mm]
II. [mm]-2y+2x=0[/mm]
d.f.: [mm]y=x[/mm]
[mm]\vektor{x_{2} \\ y_{2}}=\rho \vektor{1\\ 1}[/mm]
eingesetzt in III:
[mm]2 \rho^{2}+2 \rho^{2}-2 \rho^{2}-1=0[/mm]
[mm]\rho_{1/2}=\pm \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] (x,y)=(\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},\wurzel{\bruch{1}{2}}),\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}}))
[/mm]
puhh ganz schon viel formel ich hoffe da steigt noch jemand durch.
meine Fragen:
ist das so richtig?
woran erkenne ich nun aus den Punkten die Minima und Maxima
mfg markus
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> -->
> [mm](x,y)=(\pm(\wurzel{\bruch{1}{6}},\wurzel{\bruch{1}{6}}),\pm(\wurzel{\bruch{1}{6}},-\wurzel{\bruch{1}{6}}))[/mm]
> [mm](x,y)=(\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},\wurzel{\bruch{1}{2}}),\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}}))[/mm]
>
> puhh ganz schon viel formel ich hoffe da steigt noch jemand
> durch.
Hallo,
ich konnte deinen Rechnungen sehr gut folgen und halte sie für richtig.
Du hast nun allerdings die Punkte so aufgeschrieben, daß geschickt verschleiert wird (jedenfalls für mich), welche Punkte gemeint sind.
[mm] (\wurzel{\bruch{1}{6}},-\wurzel{\bruch{1}{6}}), (-\wurzel{\bruch{1}{6}},\wurzel{\bruch{1}{6}}),(\wurzel{\bruch{1}{2}},\wurzel{\bruch{1}{2}}) [/mm] und [mm] (-\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}}).
[/mm]
Wir müssen nun den Punkt (0/0) noch einer genaueneren Betrachtung unterziehen.
Wir hatten ihn ja mithilfe der ersten beiden Gleichungen ermittelt.
Nun muß man testen, ob er auch die dritte erfüllt. Er tut es nicht. Also scheidet dieser Punkt aus.
> woran erkenne ich nun aus den Punkten die Minima und Maxima.
Die Nebenbedingung beschreibt eine abgeschlossene Menge. Das bedeutet: Minimum und Maximum werden angenommen.
Schau nun einfach die Funktionswerte an und entscheide.
Gruß v. Angela
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mmmh ich trau mich garnet zu fragen:
betrachtet man die extrema bei Funktion zweier veränderlicher in Relation zur jeweiligen Achse oder zum Ursprung?
mfg markus
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> betrachtet man die extrema bei Funktion zweier
> veränderlicher in Relation zur jeweiligen Achse oder zum
> Ursprung?
Ich versteh's nicht...
Du hast ja eine Funktion f, welche von zwei Veränderlichen abhängt. Sie weist jedem Punkt der xy-Ebene eine Zahl f(x,y) zu. (Die Funktion geht ja nach [mm] \IR.)
[/mm]
Es wird also über der xy-Ebene ein Gebirge aufgebaut.
Der Funktionswert ist die Höhe des Gebirges an dieser Stelle. (Also der gerichtete Abstand zur xy-Ebene. Keinesfalls der Abstannd zum Ursprung!)
Habe ich hiermit Deine von mir unverstandene Frage beantwortet?
Gruß v. Angela
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naja ich bin bloss etwas irritiert, da in der übung scheinbar das gebirge auf ein ellipse zurückgeführt wurde und dann die minima/ maxima zum ursprung berechnet wurden.
quasi zb. als Maxima P(3,3) und P(-3,-3)
und als Minima P(1,-1) und P(-1,1).
wenn man sich das aufzweichnet sind das ja nun Min und Max zu ursprung. und so habe ich auch grad meine rechnung durchgezogen...
mfg markus
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> naja ich bin bloss etwas irritiert, da in der übung
> scheinbar das gebirge auf ein ellipse zurückgeführt wurde
> und dann die minima/ maxima zum ursprung berechnet wurden.
>
> quasi zb. als Maxima P(3,3) und P(-3,-3)
>
> und als Minima P(1,-1) und P(-1,1).
>
> wenn man sich das aufzweichnet sind das ja nun Min und Max
> zu ursprung. und so habe ich auch grad meine rechnung
> durchgezogen...
>
Achso! Jetzt versteh' ich's.
Der Funktionswert [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] gibt ja das Quadrat des Abstandes des Punktes (x,y) zum Nullpunkt an.
Jedem Punkt wird also durch die Funktion sein Abstand zum Nullpunkt zugeordnet.
Die Punkte, die Du ausgerechnet hast sind diejenigen auf dem Rand der Ellipse (Randbedingung) , die den geringsten bzw. den größten Abstand zum Nullpunkt haben.
Wenn man die Sache dreidimensional darstellen würde und fast gar nicht rechnen, würde man für jeden Punkt der Ellipse den Abstand zum Ursprung ausmessen, quadrieren, und dies dann über (x,y) markieren, also den Punkt (x,y,Abstand) kennzeichnen. So entsteht das Gebirge.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 12.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du sollst ja den Lagrange-Multiplikator benutzen, entnehme ich deiner Aufgabe. Du berechnest auch das [mm] \lambda; [/mm] meines Wissens ist die Berechnung von [mm] \lambda [/mm] nicht notwendig, sogar falsch(?)!
[mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] g(x,y)=2x^{2}+2y^{2}-2xy-1=0 [/mm]
Wir haben an der Uni zum Langrange-Multiplikator folgendes gelernt:
(grad [mm] f)(x,y)=\lambda*(grad [/mm] g)(x,y) (**)
Wollen wir einmal berechnen:
(grad f)(x,y)=(2x,2y)
(grad g)(x,y)=(4x-2y,4y-2x)
Mit der oben genannten Bedingung (**) und der Nebenbedingung erhalten wir:
[mm] \vmat{ 2x=\lambda*(4x-2y) \\ 2y=\lambda*(4y-2x) \\ 2x^{2}+2y^{2}-2xy-1=0 }
[/mm]
[mm] 2x=\lambda*(4x-2y) \Rightarrow \lambda=\bruch{2x}{4x-2y}
[/mm]
[mm] 2y=\lambda*(4y-2x) \Rightarrow \lambda=\bruch{2y}{4y-2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{2x}{4x-2y}=\bruch{2y}{4y-2x}
[/mm]
2x*(4y-2x)=2y*(4x-2y)
[mm] 8xy-4x^2=8xy-4y^2 \Rightarrow [/mm] x=y
setzten wir x=y in die Nebenbedingung ein:
[mm] 2x^{2}+2x^{2}-2x^2-1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=y
[/mm]
Die Funktion hat, unter Berücksichtigung der Nebenbedingung, lokale Extrema bei
[mm] (x,y)=(\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},\wurzel{\bruch{1}{2}}),\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}},-\wurzel{\bruch{1}{2}}))
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und konnte dir ein wenig weiterhelfen.
MfG barsch
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> Mit der oben genannten Bedingung (**) und der
> Nebenbedingung erhalten wir:
>
>
> [mm]\vmat{ 2x=\lambda*(4x-2y) \\ 2y=\lambda*(4y-2x) \\ 2x^{2}+2y^{2}-2xy-1=0 }[/mm]
>
> [mm]2x=\lambda*(4x-2y) \Rightarrow \lambda=\bruch{2x}{4x-2y}[/mm]
>
> [mm]2y=\lambda*(4y-2x) \Rightarrow \lambda=\bruch{2y}{4y-2x}[/mm]
Hallo,
an dieser Stelle unterläuft Dir ein immer wieder gern gemachter Fehler: Du mußt vorm Dividieren ausschließen, daß 4x-2y=0 oder 4y-2x=0 sind, und diese beiden Fälle gesondert untersuchen. So wie Du es machst, verlierst Du Informationen, was in diesem Fall den Verlust eines Punktes bedeutet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mi 12.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
stimmt, danke - Diesen Fall muss man auch noch betrachten. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
MfG barsch
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> stimmt, danke - Diesen Fall muss man auch noch betrachten.
... und zwar bis zum bitteren Ende: wenn man ihn in die Nebenbedingung einsetzt, stellt man fest, daß er diese nicht erfüllt. (Er liegt im Innern der Ellipse). Somit scheidet er als Extremwertkandidat wieder aus.
Gruß v. Angela
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> [mm]8xy-4x^2=8xy-4y^2 \Rightarrow[/mm] x=y
Hallo,
so weit hatte ich zuvor nicht geguckt; hier machst Du auch einen Fehler, welcher Dir den Verlust weiterer Punkte beschert.
[mm] 8xy-4x^2=8xy-4y^2 [/mm] ==> [mm] x^2=y^2 [/mm] ==> x=y oder x=-y.
Gruß v. Angela
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gibs zu den hast du nur entdeckt weil ich meine Lösung so toll hingeschrieben hab =D
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> gibs zu den hast du nur entdeckt weil ich meine Lösung so
> toll hingeschrieben hab =D
Klar!
Gruß v. Angela
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