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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Mithilfe der Lagrange'schen Multiplikatorregel bestimme man den kleinsten Abstand der Geraden $ax+by=c$ vom Nullpunkt. |
Wie soll ich diese Aufgabe angehen, ich habe leider keinen Plan, denn, es fehlt mir hier die entsprechende Nebenbedingung, vor mir sehe ich nur eine Hauptbedingung! (Ist vielleicht ein "Fehler" in der Angabe?)
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Hallo clemenum,
> Mithilfe der Lagrange'schen Multiplikatorregel bestimme man
> den kleinsten Abstand der Geraden [mm]ax+by=c[/mm] vom Nullpunkt.
> Wie soll ich diese Aufgabe angehen, ich habe leider keinen
> Plan, denn, es fehlt mir hier die entsprechende
> Nebenbedingung, vor mir sehe ich nur eine Hauptbedingung!
> (Ist vielleicht ein "Fehler" in der Angabe?)
Nein, es ist kein Fehler in der Aufgabe.
Nebenbedingung ist doch, daß der Punkt auf der Geraden ax+by=c
liegen muß.
Die Hauptbedingung ist durch den Abstand des Punktes (x,y)
zum Ursprung gegeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich brauche im folgenden nur eine Bestätigung:
Ich betrachte im Sinne der Lagrange'schen Multiplikatormethde einfach [mm] $f(x)-\lambda [/mm] g(x)$, also [mm] $\sqrt{x^2+y^2}-\lambda(ax+by-c)$ [/mm] und dies leite ich nun partiell ab...
Ist mein Anfang korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich brauche im folgenden nur eine Bestätigung:
>
> Ich betrachte im Sinne der Lagrange'schen
> Multiplikatormethde einfach [mm]f(x)-\lambda g(x)[/mm], also
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}-\lambda(ax+by-c)[/mm] und dies leite ich nun
> partiell ab...
>
> Ist mein Anfang korrekt?
Ja
FRED
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Danke für die Bestätigung!
Am Schluss kommt mir nun folgender heraus:
[mm] $x=\frac{-ac}{a^2-b^2}$ [/mm] und $ [mm] y=-\frac{bc}{a^2-b^2}$ [/mm]
Klingt mein Ergebnis plausibel?
Jetzt brauche ich dies nur noch in [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] einzusetzen, richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Partielle Ableitung nach x ergibt: [mm] $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}-a\lambda$ [/mm]
- || y - : [mm] $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-b\lambda$ [/mm]
- || [mm] $\lambda$: [/mm] $-(ax+by-c)$
Jede einzelne Gleichung setzt ich null, multipliziere die erste mit b, die zweite mit (-a) und erhalte:
[mm] $\frac{bx}{\sqrt{x^2+y^2}}-ab\lambda=0$
[/mm]
[mm] $\frac{-ay}{\sqrt{x^2+y^2}}+ab\lambda [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] bx=ay [mm] \Rightarrow x=\frac{ay}{b}$
[/mm]
Dies nun in III. eingesetzt ergibt dann schließlich [mm] $y=\frac{-bc}{a^2-b^2} [/mm] und analog für x...
Eingetzt in die HB. ergibt sich schließlich: $ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\cdot |\frac{c}{a^2-b^2}|$ [/mm]
Ein Test an einem konkreten Beispiel widerlegt mir jedoch mein Resultat, da der minimale Abstand niemals größer sein kann, als die Verschiebungskonstante bezüglich der y-Achse...
Kann mir jemand sagen, was ich nicht bedenke bzw. falsch mache?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mi 17.11.2010 | | Autor: | himbrom |
Beim Einsetzen in III. bekommst Du [mm]y=\frac{bc}{a^2+b^2}[/mm] heraus und am Ende [mm]\left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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