Lagrange Polynome < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
ich hab ein kleines problem bei folgendem beispiel:
[mm] L_{j}(x)= \produkt_{i=1, i \not= j}^{n} \bruch{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}
[/mm]
für i,j = 0,...n [mm] x_{i} \not= x_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
man zeige:
a) [mm] \summe_{j=0}^{n}L_{j}(x) [/mm] = 1
b) [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{ \produkt_{i \not= j}^{}(x_{j}-x_{i})}=0
[/mm]
könnte mir hier jemand wieterhelfen?
wäre sehr dankbar für vorschläge und anregungen!
mfg
Floyd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Antimon |
hängt bestimmt damit zusammen, dass die Lagrange'schen Grundpolynome an der betrachteten Stützstelle xj den Wert 1 annehmen und an allen anderen Stützstellen den Wert 0. D.h. Lj(xj)=1 und Lj(xi)=0 für alle i ungleich j. oder?
ich würd das Problem mal so angehen, eigentlich ist das mit Lagrange nicht so tiefgehend...
hoffe ich konnte dir damit helfen.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 09.10.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
danke für die schnell antwort 
meine idee wäre folgende:
Das Polynom q = [mm] \summe_{j=0}^{n}L_{j}(x)
[/mm]
ist in den n + 1 Stellen [mm] x_{i}, [/mm] i = 0, 1, . . ., n , nach
Konstruktion gleich dem Polynom 1 .
und wegen der Eindeutigkeit des Lagrangeschen
Interpolationspolynoms muß also q [mm] \equiv [/mm] 1 sein
(Anwendung des Satzes von Rolle).
aber wie soll man das genau ausformulieren?
mfg
Floyd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Floyd!
Genau so! (Und genau so hatte ich es ja bereits auch geschrieben... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") )
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Floyd!
> [mm]L_{j}(x)= \produkt_{i=1, i \not= j}^{n} \bruch{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}[/mm]
Hier soll es wohl bei $i=0$ beginnen, oder?
> für i,j = 0,...n [mm]x_{i} \not= x_{j}[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j
>
> man zeige:
>
> a) [mm]\summe_{j=0}^{n}L_{j}(x)[/mm] = 1
Beides sind Polynome höchstens $(n+1)$-ten Grades, die an $n+1$ Stützstellen übereinstimmen.
> b) [mm]\summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{ \produkt_{i \not= j}^{}(x_{j}-x_{i})}=0[/mm]
Leite beide Seiten in a) hinreichend oft ab. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo?
Wieso bringt dich $n$-maliges Ableiten (und anschließendes Teilen durch $n!$) nicht weiter? Habe ich mich da so verrechnet? Mag sein, ich habe es nur überflogen... Kannst du deine Bedenken bitte noch einmal konkreter äußern?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 09.10.2005 | | Autor: | Floyd |
[mm] \summe_{j=0}^{n} \produkt_{i=0, i \not=j}^{n} \bruch{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}
[/mm]
[mm] =\summe_{j=0}^{n}\bruch{x^{n}+q(x)}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}
[/mm]
q(x) .. polynom vom grad n-1
[mm] =x^{n}\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}+ \summe_{j=0}^{n}\bruch{q(x)}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}
[/mm]
dann n-mal ableiten
[mm] =n!\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}
[/mm]
und jetzt bin ich bei b)
doch wie zeig ich das?
mfg
Floyd
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> [mm]\summe_{j=0}^{n} \produkt_{i=0, i \not=j}^{n} \bruch{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{j=0}^{n}\bruch{x^{n}+q(x)}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}[/mm]
>
> q(x) .. polynom vom grad n-1
> [mm]=x^{n}\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}+ \summe_{j=0}^{n}\bruch{q(x)}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}[/mm]
>
> dann n-mal ableiten
> [mm]=n!\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}[/mm]
>
> und jetzt bin ich bei b)
> doch wie zeig ich das?
Hallo Floyd,
Du hast es so gut wie gezeigt! Nur nicht die Nerven verlieren...
Aus a) wissen wir 1= [mm]\summe_{j=0}^{n} \produkt_{i=0, i \not=j}^{n} \bruch{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}[/mm].
Die rechte Seite hast Du oben brav n-mal abgeleitet, wenn Du das jetzt auch noch mit der linken Seite machst, steht da ???= [mm]=n!\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{ \produkt_{}^{}x_{j}-x_{i}}[/mm].
Der Schritt zum Gesuchten ist dann fast keiner mehr.
Gruß v. Angela
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