Limes der Zinseszinsformel < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 14.07.2006 | | Autor: | dubaiflo |
| Aufgabe | lim m-> unendlich von K * (1+(i/m))^(m*n)
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Hallo
ich bräuchte eine Herleitung des Limes, der ja bekanntlich nach der Zinseszinsformel K * e^(i*n) ist.
Wie kann man diesen Limes rechnerisch bestimmen?
K, n und i sind Konstanten, m die Variable gegen unendlich.
Kann mir jemand diesen Limes herleiten?
mfg
Vielen Dank
Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo !
Laut Definition ist
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
und
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}
[/mm]
man könnte es aber auch so schreiben
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((1+\bruch{1}{n})^{n})^{x}) \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{xn} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
alles klar soweit ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 14.07.2006 | | Autor: | dubaiflo |
Hallo
Danke für deine Hilfe
Jedoch komme ich damit nicht wirklich weiter, weil mir die Definition von e so nichts sagt, wir haben sie damals über die Umkehrfunktion des Ln einführt.
ich suche eher nach einer Rechnung in der Art
Lim m-> unendlich K * (1+(i/m))^(m*n) = .... = e^(i*n)
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Hallo dubaiflo,
Meinst du das hier:
[mm]\begin{matrix} \limes_{m\rightarrow\infty}K*\left(1+\frac{i}m\right)^{m*n}&=&
K*\limes_{m\rightarrow\infty}\left(1+\frac{i}m\right)^{m*n}\\
&=&K* \left[\limes_{m\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{i}m\right)^m}\right] ^n\\
&=&K* {\underbrace{\left[\limes_{m\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{i}m\right)^m}\right]}_{=e^i}}^n\\
\\
&=&K*{e^{i}}^n\end{matrix}[/mm]
Es ist aber nichts neues, sondern beinhaltet
Dinge, die Tequila bereits gesagt hat, nämlich
die klassische Definition von [mm] $e^x$
[/mm]
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 14.07.2006 | | Autor: | dubaiflo |
Hallo
Vielen Dank.
Leider bin ich irgendwie immer noch mit dem letzten Schritt unzufrieden.
Gibt es nicht irgendeinen Weg, einfach ohne die Definition von e, also z.B über einen Trick mit Ln auf den Limes zu kommen.
Mein LK Lehrer meinte ich solle den Limes "herleiten", also wirklich wie einen Limes behandeln.
Er meinte auch ich bräuchte L'hospital dafür..
Vll kann mir noch einmal jemand helfen.
mfg
Flo
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Hi, dubaiflo,
vielleicht ist es so gemeint, dass Du zunächst den Ln von Deinem Ausdruck bildest, also:
[mm] ln(1+\bruch{i}{m})^{mn} [/mm] (K als konstante Größe lass' ich mal weg).
Dann formst Du nach den Logarithmusgesetzen um:
[mm] mn*ln(1+\bruch{i}{m})
[/mm]
Und nun zum Grenzwert:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}ln(1+\bruch{i}{m})^{mn} [/mm]
= n* [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} m*ln(1+\bruch{i}{m})
[/mm]
(da n konstant ist, kann man es vor den lim ziehen!)
Nun geht m [mm] \to \infty [/mm] und der ln-Ausdruck gegen ln(1), also 0.
Demnach haben wir den Fall [mm] "\infty [/mm] * 0", also: L'Hospital.
Dazu müssen wir das Produkt in einen Bruch verwandeln:
n* [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} m*ln(1+\bruch{i}{m})
[/mm]
= n* [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{ln(1+\bruch{i}{m})}{m^{-1}}
[/mm]
Das auszurechnen schaffst Du sicher selbst: n*i
Wenn nun aber [mm] ln(1+\bruch{i}{m})^{mn} [/mm] gegen n*i geht, dann muss
[mm] (1+\bruch{i}{m})^{mn} [/mm] gegen [mm] e^{ni} [/mm] gehen.
Damit ist die Sache bewiesen.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 16.07.2006 | | Autor: | dubaiflo |
Hallo
vielen Dank für deine Mühe, in etwa so muss es gemeint sein.
Was ich nach Lesen deiner Lösung glaube ist dass mein Lehrer eigentlich meinte ich solle e^ln(1+...) schreiben (was ja das Gleiche ist)
und dann einfach geschickt umformen, so wie du das gemacht hast.
Sollte aber als Lösung ok und nachvollziehbar sein.
Vielen Dank.
mfg
Flo
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Das wüsste ich aber auch gern, wie das geht.
