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| Aufgabe | Linear abhängig oder unabhängig?
V = [mm] C^0 [/mm] ( [mm] \IR [/mm] ) ; [mm] v_{1} [/mm] = cos(x) ; [mm] v_{2} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] = sin(x) |
Wie geh ich an diese Aufgabe ran?
Danke schön!
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> Linear abhängig oder unabhängig?
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> V = [mm]C^0[/mm] ( [mm]\IR[/mm] ) ; [mm]v_{1}[/mm] = cos(x) ; [mm]v_{2}[/mm] = [mm]x^2[/mm] , [mm]v_{3}[/mm] =
> sin(x)
> Wie geh ich an diese Aufgabe ran?
Hallo,
sag zuerst, wie die lineare Unabhängigkeit von drei vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] definiert ist.
Was mußt Du also prüfen?
Gruß v. Angela
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Vektoren sind linear unabhängig, wenn der Nullvektor sich als eine nichtriviale Linearkombination von ihm darstellen lässt.
Aber dann hörts dann schon auf.
Wenn man das so macht, wie bei den anderen Vektoren, dann
würde ich das so machen:
[mm] \lambda \* [/mm] cos(x) + [mm] \mu \* x^2 [/mm] + [mm] \nu \* [/mm] sin (x)
??
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> Vektoren sind linear unabhängig, wenn der Nullvektor sich
> als eine nichtriviale Linearkombination von ihm darstellen
> lässt.
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> Aber dann hörts dann schon auf.
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> Wenn man das so macht, wie bei den anderen Vektoren, dann
> würde ich das so machen:
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> [mm]\lambda \*[/mm] cos(x) + [mm]\mu \* x^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] sin (x)
>
> ??
Hallo,
Dein Ansatz ist gut --- gemeint: da muß doch noch =0 hin.
Mal ein paar Vorüberlegungen: der Vektorraum, in dem wir uns gerade bewegen, besteht aus Funktionen.
Welches ist in diesem Raum das neutrale Element? Es ist keine Zahl, sondern eine Funktion.
Welche? Die Funktion n, die alles auf die 0 abbildet, also die mit der Zuordnungsvorschrift n(x):=0.
Die Vektoren, die wir gerade besprechen, sind die drei Funktionen [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] mit [mm] v_1(x):=cos(x), v_2(x):=x^2, v_3(x)=sin(x).
[/mm]
Du sollst nun herausfinden, ob die Gleichung
[mm] \lambda \*v_1+\mu \*v_2+ [/mm] nu [mm] \*v_1=n [/mm]
nur die triviale Lösung hat.
Welche Sorte Gleichheit ist hier zu zeigen? Die Gleichheit von Funktionen.
2 Funktionen sind gleich, wenn ihre Werte an allen Stellen über einstimmen.
Also mußt Du herausfinden, für welche [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm]
[mm] (\lambda \*v_1+\mu \*v_2+ [/mm] nu [mm] \*v_1)(x)=n(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt.
==> [mm] \lambda \*v_1(x)+\mu \*v_2(x)+ [/mm] nu [mm] \*v_1(x)=n(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
==> [mm] \lambda \*[/mm] [/mm] cos(x) + [mm]\mu \* x^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] sin (x)=0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Soweit ist das eigentlich nichts besonderes.
Nun muß man ein wenig denken: wenn diese Gleichung für alle x gelten soll, muß sie natürlich auch für die 3 x gelten, die ich mir jetzt gleich aussuche. Ich suche speziell diese x aus, weil ich mit ihnen gut rechnen kann.
Also: aus [mm] \lambda \*[/mm] [/mm] cos(x) + [mm]\mu \* x^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] sin (x)=0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
folgt, daß
[mm] \lambda \*[/mm] [/mm] cos(0) + [mm]\mu \* 0^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] sin (0)=0
[mm] \lambda \*[/mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm]\mu \* (\bruch{\pi}{2})^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] [mm] sin(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]
[mm] \lambda \*[/mm] cos(\pi) [/mm] + [mm]\mu \* \pi^2[/mm] + [mm]\nu \*[/mm] sin [mm] (\pi)=0 [/mm]
gelten müssen.
Aus der Lösung des hieraus resultierenden Gleichungssystems erhältst Du die gewünschte Information.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Okay,
ich habe das jetzt ausgerechnet.
Ich bin dazu gekommen, dass die Elemente linear abhängig sind.
simmt das?
Ich habe für die Gleichung raus [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] = 0
weil [mm] \lambda [/mm] = 0 ; [mm] \mu [/mm] = 0 und [mm] \nu [/mm] = 0
Danach müsste es ja linear unabhängig sein. Stimmts?
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