Lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen zusammen.
Ich habe eine ganz dringende frage und zwar verstehe ich nicht, wie ich prüfen kann, ob Vektoren Linear unabhägig oder linear abhägig sind. Was ist am einfachsten zu prüfen??? Ist es einfacher wenn ich prüfe ob Vekteron Linear abhängig sind??? Dort muss ich ja nur nach einer Linearkombination gucken. wenn ja dann sind sie linear abhängig wenn nicht dann nicht. Ich weiß einfach nicht weiter. Bitte helft mir.
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> Ich habe eine ganz dringende frage und zwar verstehe ich
> nicht, wie ich prüfen kann, ob Vektoren Linear unabhägig
> oder linear abhägig sind.
Hallo,
das prüft man streng nach Definition. (Wie geht die?) Die mußt Du drauf haben, falls Du Dich je einer mathematischen Prüfung unterziehen mußt, in welcher auch Vektoren vorkommen.
Wenn Du z.B. die Vektoren [mm] v_1, v_2,...v_5 \in [/mm] V (V Vektorraum über K) prüfen sollst,
schaust Du nach, ob
[mm] k_1v_1 [/mm] + [mm] k_2v_2+ [/mm] ...+ [mm] k_5v_5=0 [/mm] mit [mm] (k_1,...,k_5 \in [/mm] K)
nur die eine Lösung [mm] k_1=...=k_5=0 [/mm] hat.
Wenn es nur diese eine Lösung gibt, sind die Vektoren unabhängig, wenn es weitere Lösungen gibt, abhängig.
Herausbekommen tust Du das durch Lösen von [mm] k_1v_1 [/mm] + [mm] k_2v_2+ [/mm] ...+ [mm] k_5v_5=0, [/mm] die [mm] k_i [/mm] sind hier die zu berechnenden Variablen.
Nun kann es vorkommen, daß die Vektoren so sind, daß Du mit halbem Hingucken bereits siehst, daß einer eine Linearkombination der anderen ist. In diesem Fall sind sie linear abhängig. (Denn [mm] k_1v_1 [/mm] + [mm] k_2v_2+ [/mm] ...+ [mm] k_5v_5=0 [/mm] hat in diesem Fall ja eine von der Nullösung verschiedene Lösung.)
Gruß v. Angela
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Gut. Soll also heißen, dass wenn ich zu prüfen habe, ob Vektoren linear unabhängig sind, dann darf z.B. 1*4+1*(-4)+5*0 nur dieses eine Ergebnis haben. In meinem Bsp.: hat es allerdings mehrer also z.B. auch 2*4+2*(-4)+9*0. Von daher linear abhängig wenn ich das richtig verstanden habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Di 30.10.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Dominic!
Wie lauten denn Deine Vektoren, die Du überprüfen willst bzw. sollst?
Gruß vom
Roadrunner
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Na nehmen wir mal z.B.: [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -5} \vektor{-5 \\1 \\2 } \vektor{-1 \\ -2 \\ -5}.
[/mm]
Jetzt brauche ich einfach nur prüfen ob es eine Lösung für [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -5} \vektor{-5 \\1 \\2 } \vektor{-1 \\ -2 \\ -5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] gibt, wenn ich das richtig verstanden habe. Wenn es mehrere gibt, dann ist sie linear abhängig wenn es nur eine gibt dan linear unabhängig. Aber dauert diese Aufgabe dann nicht ziemlich lange bis ich mit der Prüfung fertig bin???
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> Na nehmen wir mal z.B.: [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -5} \vektor{-5 \\1 \\2 } \vektor{-1 \\ -2 \\ -5}.[/mm]
>
> Jetzt brauche ich einfach nur prüfen ob es eine Lösung für
> [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -5} \vektor{-5 \\1 \\2 } \vektor{-1 \\ -2 \\ -5}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Hallo,
was Du damit wohl meinst?
Du mußt prüfen, welche Lösungen
[mm] a\vektor{-1 \\ -2 \\ -5}+b \vektor{-5 \\1 \\2 } +c\vektor{-1 \\ -2 \\ -5}[/mm] [/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
hat.
> gibt, wenn ich das richtig
> verstanden habe. Wenn es mehrere gibt, dann ist sie linear
> abhängig wenn es nur eine gibt dan linear unabhängig.
Ganz genau.
> Aber
> dauert diese Aufgabe dann nicht ziemlich lange bis ich mit
> der Prüfung fertig bin???
Das kommt darauf an, wie geschickt Du beim Lösen v. linearen Gleichungssysteme bist.
(Wenn Du Dich entscheidest, alle möglichen Linearkombinationen durchzuprobieren, wird Dein Leben dafür nicht reichen...)
Gruß v. Angela
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na sagen wir mal ich habe die Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\0 \\-1 }\vektor{1 \\-1 \\1 }\vektor{1 \\1 \\1 }
[/mm]
Dann prüfe ich nun:
[mm] a*\vektor{1 \\0 \\-1 }+b*\vektor{1 \\-1 \\1 }+c*\vektor{1 \\1 \\1 }=\vektor{0 \\0 \\0 }
[/mm]
Das einfachste ist ja am Anfang immer mit Null zu multiplizieren. Ich glaube das war die triviale Nullsumme. Bin mir aber nicht sicher.
Dann prüfe ich, ob es auch noch andere Lösungswege gibt, für die die Vektoren [mm] \vektor{0 \\0 \\0 } [/mm] ergeben.
Und stelle fest, dass z.B.:
[mm] 4*\vektor{1 \\0 \\-1 }+(-2)*\vektor{1 \\-1 \\1 }+(-2)*\vektor{1 \\1 \\1 }=\vektor{0 \\0 \\0 } [/mm] ergibt.
Demnach könnte ich jetzt schon sagen, dass linear abhängig.
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> na sagen wir mal ich habe die Vektoren:
> [mm]\vektor{1 \\0 \\-1 }\vektor{1 \\-1 \\1 }\vektor{1 \\1 \\1 }[/mm]
>
> Dann prüfe ich nun:
> [mm]a*\vektor{1 \\0 \\-1 }+b*\vektor{1 \\-1 \\1 }+c*\vektor{1 \\1 \\1 }=\vektor{0 \\0 \\0 }[/mm]
>
> Das einfachste ist ja am Anfang immer mit Null zu
> multiplizieren. Ich glaube das war die triviale Nullsumme.
> Bin mir aber nicht sicher.
Hallo,
diese Null-Lösung gibt's ja immer.
> Dann prüfe ich, ob es auch noch andere Lösungswege gibt,
Hier ist eben die Frage, WIE Du das prüfst.
> für die die Vektoren [mm]\vektor{0 \\0 \\0 }[/mm] ergeben.
> Und stelle fest, dass z.B.:
> [mm]4*\vektor{1 \\0 \\-1 }+(-2)*\vektor{1 \\-1 \\1 }+(-2)*\vektor{1 \\1 \\1 }=\vektor{0 \\0 \\0 }[/mm]
> ergibt.
> Demnach könnte ich jetzt schon sagen, dass linear
> abhängig.
Dein Ergebnis ist natürlich richtig - ich habe den Eindrück, daß Du es durch geschicktes Probieren gefunden hast, was durchaus erlaubt ist, Dir aber bei weniger übersichtlichen Fragestellungen ganz schöne Probleme machen kann, insbes. wenn Du Vektoren hast, die linear unabhängig sind!
Ist Dir klar, daß sich hinter
[mm] a*\vektor{1 \\0 \\-1 }+b*\vektor{1 \\-1 \\1 }+c*\vektor{1 \\1 \\1 }=\vektor{0 \\0 \\0 } [/mm]
ein lineares GS verbirgt,
nämlich
1*a+1*b+1*c=0
[mm] \vdots [/mm] ?
Gruß v. Angela
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Genau das mit dem LGS habe ich ja auch schon gehabt. Allerdings waren mir die Bsp.: nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren nicht so ganz klar. Zitat: 3 Nullverschiedene Zeilen =3 Vektoren also Linear unabhängig. Obwohl ich den Enindruck hatte, dass man das alles noch weiter auflösen könnte. Wie muss ich also genau vorgehen bei der Prüfung von linearer unabhängigkeit am Beispiel des LGS
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> Genau das mit dem LGS habe ich ja auch schon gehabt.
> Allerdings waren mir die Bsp.: nach dem Gaußschen
> Eliminationsverfahren nicht so ganz klar. Zitat: 3
> Nullverschiedene Zeilen =3 Vektoren also Linear unabhängig.
> Obwohl ich den Enindruck hatte, dass man das alles noch
> weiter auflösen könnte. Wie muss ich also genau vorgehen
> bei der Prüfung von linearer unabhängigkeit am Beispiel des
> LGS
Am besten mit der Koeffizientenmatrix und dem Gaußverfahren.
Bring die Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform.
Ist der Rang der Matrix = Anzahl der Variablen, so gibt's nur die triviale Lösung, andernfalls mehr.
Gruß v. Angela
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Okay also für die Vektor
[mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 },\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
haben wir festgestellt, dass er linear unabhängig ist.
Und für den Vektor
[mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 },\vektor{ 1 \\ -1 \\ 1 },\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
haben wir festgestellt, dass er linear abhängig ist.
Allerdings durch ausprobieren, was erfahrungsgemäß ganz schön kompliziert werden kann.
Nun möchte ich prüfen, ob der Vektor
[mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ -1 \\ 1 },\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
linear unabhängig oder linear abhängig ist. Dies mache ich am besten mit der Koeffizientenmatrix und dem Gaußverfahren.
Ich erhalte:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 = 0 \\ 1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0 }
[/mm]
Wie müsste ich dieses LGS nun lösen um rauszufinden ob es linear unabhängig oder linear abhängig ist?
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Hallo Dominic!
Zum einen können immer nur mehrere Vektoren linear (un)abhängig sein (und nicht nur ein Vektor).
> Nun möchte ich prüfen, ob der Vektor [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ -1 \\ 1 },\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
> linear unabhängig oder linear abhängig ist. Dies mache ich
> am besten mit der Koeffizientenmatrix und dem Gaußverfahren.
> Ich erhalte: [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 = 0 \\ 1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0 }[/mm]
Hier hast Du die Matrix falsch aufgestellt. Es muss heißen:
[mm] $$\vmat{ 1 & 1 & 0 & = & 0 \\ 0 & -1 & 1 & = & 0 \\ 0 & 1 & 1 & = & 0 }$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> Gut. Soll also heißen, dass wenn ich zu prüfen habe, ob
> Vektoren linear unabhängig sind, dann darf z.B.
> 1*4+1*(-4)+5*0 nur dieses eine Ergebnis haben. In meinem
> Bsp.: hat es allerdings mehrer also z.B. auch
> 2*4+2*(-4)+9*0. Von daher linear abhängig wenn ich das
> richtig verstanden habe.
Du scheinst gerade den Vektorraum [mm] V:=\IR [/mm] über [mm] \IR [/mm] zu betrachten und wissen zu wollen, ob die 3 Vekoren (4,-4,0) linear unabhängig sind, eine ein bißchen seltsame Aufgabe...
Hierzu ist das Gleichungssystem
[mm] a_1*4 [/mm] + [mm] a_2*(-4) [/mm] + [mm] a_3*0 [/mm] =0 zu betrachten.
Wie Du festgestellt hast, hat es mehr als eine Lösung, also sind die Vektoren 4, -4 und 0 linear abhängig - was man ja auch sofort sehen kann.
Wenn das also die Aufgabe war, hast Du sie richtig gelöst.
Gelingt es Dir denn auch,
[mm] \vektor{1 \\ 2\\0}, \vektor{1 \\ 2\\3}\in \IR^3 [/mm] auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
wenn ich 5 Vektoren habe, wie zeige ich dann, dass diese linear unabhängig sind?
dann hab ich ja 5 variablen und 4 gleichungen, geht dass dann überhaupt
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> wenn ich 5 Vektoren habe, wie zeige ich dann, dass diese
> linear unabhängig sind?
>
> dann hab ich ja 5 variablen und 4 gleichungen, geht dass
> dann überhaupt
Hallo,
vielleicht solltest Du Deine Frage leiber in einem eigenen Thread stellen.
Kommt ja ein bißchen darauf an, aus welchem Raum die Vektoren kommen.
Du solltest das ggf. konkretisieren.
Lineare Unabhängigkeit ziegt man immer, indem man prüft, ob [mm] \summe_{i=1}^{n}k_iv_i=0 [/mm] nur die triviale Lösung hat.
Ach - und falls Du das meintest: 5 Vektoren aus dem [mm] \IR^4 [/mm] können nicht linear unabhängig sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
5 Vektoren aus dem [mm]\IR^4[/mm]
genau dass meine ich :)
vorher hab ich gezeigt, dass die ersten vier vektoren linear unabhänigig sind, jetzt nehme ich den fünften dazu aber komme nicht weiter, ich habe eine "dreicksform" aber in der letzten zeile sind ja noch 2 variablen vorhanden....
:(
[mm] \vmat{ 3 & 9 & 10 & 1 & 2 & 0 \\0 & -6 & -16 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -10 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &1 & 0 }
[/mm]
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> 5 Vektoren aus dem [mm]\IR^4[/mm]
>
>
> genau dass meine ich :)
>
>
> vorher hab ich gezeigt, dass die ersten vier vektoren
> linear unabhänigig sind, jetzt nehme ich den fünften dazu
> aber komme nicht weiter, ich habe eine "dreicksform" aber
> in der letzten zeile sind ja noch 2 variablen
> vorhanden....
Hallo,
Du kannst da nicht großartig "weiterkommen", da wie gesagt, 5 und mehr Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] immer linear abhängig sind.
Was hast Du denn vor mit dem 5.?
Was sollst Du herausfinden?
Gruß v. Angela
> :(
> [mm]\vmat{ 3 & 9 & 10 & 1 & 2 & 0 \\0 & -6 & -16 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -10 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &1 & 0 }[/mm]
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich habe fünf vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} [/mm] aus [mm] \IR^4 [/mm] (für die einzelnen v sind jeweils Vektoren mit 4 Einträgen angegen) gegeben und die Frage ist:
Läßt sich jeder Vekotr v [mm] \in \IR^{4} [/mm] folgendermaßen darstellen:
v= [mm] \lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}+\lambda_{4}*v_{4}+\lambda_{5}*v_{5}
[/mm]
mit geeigent gewwählten [mm] \lamba_{i}
[/mm]
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> ich habe fünf vektoren [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}[/mm]
> aus [mm]\IR^4[/mm] (für die einzelnen v sind jeweils Vektoren mit 4
> Einträgen angegen) gegeben und die Frage ist:
>
> Läßt sich jeder Vekotr v [mm]\in \IR^{4}[/mm] folgendermaßen
> darstellen:
>
> v=
> [mm]\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}+\lambda_{4}*v_{4}+\lambda_{5}*v_{5}[/mm]
>
> mit geeigent gewwählten [mm]\lamba_{i}[/mm]
Sofern es hier eine linear unabhängige Teilmenge von 4 Vektoren gibt, können bereits diese 4 Vektoren nicht anders, als den [mm] \IR^4 [/mm] zu erzeugen. Wenn man nun einen 5.Vektor hinzunimmt, kann man mit diesen Vektoren natürlich immer noch den [mm] \IR^4 [/mm] erzeugen.
Allerdings ist die Darstellung dann nicht mehr eindeutig - man hat hier dann ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4, [/mm] aber keine Basis mehr.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:51 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
unser Übungsleiter meinte, dass man diese Aufgabe auch mit nem gegenbeispiel ziegen kann, sprich: man zeigt, dass es für einen beliebigen Vektor nicht geht....
pack ich dann alle Vektoren, die ich hab in eine MAtrix und setzte hinter den waagerechten strich der Matritze meinen "ausgedachten Vektor"?
Geht das dann so nach dem Motto rumprobieren?
aber habe ich dann nicht wieder das problem, dass ich die letzte zeile nicht lösen kann, weil 2 variablen drinne sind?....
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> unser Übungsleiter meinte, dass man diese Aufgabe auch mit
> nem gegenbeispiel ziegen kann, sprich: man zeigt, dass es
> für einen beliebigen Vektor nicht geht....
>
> pack ich dann alle Vektoren, die ich hab in eine MAtrix und
> setzte hinter den waagerechten strich der Matritze meinen
> "ausgedachten Vektor"?
> Geht das dann so nach dem Motto rumprobieren?
> aber habe ich dann nicht wieder das problem, dass ich die
> letzte zeile nicht lösen kann, weil 2 variablen drinne
> sind?....
Hallo,
das hat jetzt so im Stile v. Waschfrauengelaber keinen Wert.
Wenn Du mehr wissen willst, dann mußt Du die vollständige und korrekte Aufgabenstellung präsentieren (keine Nacherzählung!), mitsamt allen Details, die Dir zunächst vielleicht nicht wichtig vorkommen.
Ins Luftleere kann man da nicht mehr zu sagen, ohne die Aufgabe zu kennen.
Am besten stellst Du sie in einer neuen Diskussion.
Gruß v. Angela
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