Mächtigkeit der Menge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
| Aufgabe | | Eine reelle Potenzreihe mit Koeffizienten [mm] a_n [/mm] hat den Konvergenzradius r=1. Welche Aussage können sie über die Mächtigkeit der Menge {n: [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^{n} [/mm] } machen? |
Hallo Leute,
ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen kann. Hab auch keine Information über die Lösung. Kann mir dabei jemand helfen wie ich vorzugehen habe?
LG
Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieviele solche [mm] a_n [/mm] können denn in der Reihe vprkommen? Du sollst nicht eine Zahl angeben,
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo
Hallo Leduart
> wieviele solche [mm]a_n[/mm] können denn in der Reihe vprkommen?
eigentlich kann doch kein [mm] a_n=2^n [/mm] sein oder? Denn für [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^n [/mm] ist ja der konvergenzradius r = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] oder?
Wäre das schon die Antwort dazu? wenn ja, wie formuliere ich das korrekt?
Heißt das dann für r<1 für [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^n [/mm] ?
> Du sollst nicht eine Zahl angeben,
> Gruß leduart
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Hallo,
überlege dir, wie man den Konvergenzradius berechnet. Und dann versuche dich an einer Antwort auf die Frage, ob es
a) kein
b) endlich viele oder
c) unendlich viele
solcher [mm] a_n [/mm] geben kann/darf.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo Diophant,
also dann:
es existiert kein [mm] a_n, [/mm] mit r=1 für [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^n [/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 21.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant,
>
> also dann:
>
> es existiert kein [mm]a_n,[/mm] mit r=1 für [mm]a_n[/mm] > [mm]2^n[/mm]
> ?
Das ist doch nicht zu verstehen !!!
Ist zum Beispiel [mm] a_{4711}=2^{4712} [/mm] und [mm] a_n=1 [/mm] für alle n [mm] \ne4711, [/mm] welchen Konvergenzradius hat dann die Potenzreihe ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
na die Potenzreihe mit [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^n [/mm] hat doch immer den konvergenzradius von r = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
weil [mm] r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\left | a_n \right |}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 1
Ich versteh nicht so richtig worauf ihr hinaus wollt, bzw was
> Ist zum Beispiel $ [mm] a_{4711}=2^{4712} [/mm] $ und $ [mm] a_n=1 [/mm] $ für alle n $ [mm] >\ne4711, [/mm] $ welchen Konvergenzradius hat dann die Potenzreihe ?
ich damit anfangen soll. Tut mir leid, aber ich steh wohl irgendwie auf dem schlauch.
lg Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 21.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> na die Potenzreihe mit [mm]a_n[/mm] = [mm]2^n[/mm] hat doch immer den
> konvergenzradius von r = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Ja, wenn [mm] a_n=2^n [/mm] für alle n ist !
>
> weil [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\left | a_n \right |}[/mm]
Diese Formel stimmt nicht !!!!
>
> Ich versteh nicht so richtig worauf ihr hinaus wollt, bzw
> was
> > Ist zum Beispiel [mm]a_{4711}=2^{4712}[/mm] und [mm]a_n=1[/mm] für alle
> n [mm]>\ne4711,[/mm] welchen Konvergenzradius hat dann die
> Potenzreihe ?
> ich damit anfangen soll. Tut mir leid, aber ich steh wohl
> irgendwie auf dem schlauch.
Nimm mal an, es sei [mm] a_n>2^n [/mm] für unendlich viele n und zeige, dass dann der Konvergenzradius [mm] \le [/mm] 1/2 ist.
FRED
>
> lg Seb
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
> > na die Potenzreihe mit [mm]a_n[/mm] = [mm]2^n[/mm] hat doch immer den
> > konvergenzradius von r = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ja, wenn [mm]a_n=2^n[/mm] für alle n ist !
>
>
> >
> > weil [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\left | a_n \right |}[/mm]
>
>
> Diese Formel stimmt nicht !!!!
du hast recht, ich habe die Wurzel vergessen
richtig müsste es lauten:
[mm] r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left | a_n \right |}}
[/mm]
>
>
> >
> > Ich versteh nicht so richtig worauf ihr hinaus wollt, bzw
> > was
> > > Ist zum Beispiel [mm]a_{4711}=2^{4712}[/mm] und [mm]a_n=1[/mm] für
> alle
> > n [mm]>\ne4711,[/mm] welchen Konvergenzradius hat dann die
> > Potenzreihe ?
> > ich damit anfangen soll. Tut mir leid, aber ich steh wohl
> > irgendwie auf dem schlauch.
>
> Nimm mal an, es sei [mm]a_n>2^n[/mm] für unendlich viele n und
> zeige, dass dann der Konvergenzradius [mm]\le[/mm] 1/2 ist.
[mm] a_n >2^n [/mm]
könnte ich also eine Beispielrechnung des Konvergenzradius von [mm] a_n=3^n
[/mm]
machen?
Also z.B. [mm] a_n= k^n [/mm] für k>2
mit Cauchy-Hadamard [mm] r=\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r<\bruch{1}{2}
[/mm]
>
> FRED
> >
> > lg Seb
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 21.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > na die Potenzreihe mit [mm]a_n[/mm] = [mm]2^n[/mm] hat doch immer den
> > > konvergenzradius von r = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Ja, wenn [mm]a_n=2^n[/mm] für alle n ist !
> >
> >
> > >
> > > weil [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\left | a_n \right |}[/mm]
>
> >
> >
> > Diese Formel stimmt nicht !!!!
> du hast recht, ich habe die Wurzel vergessen
> richtig müsste es lauten:
> [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left | a_n \right |}}[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > Ich versteh nicht so richtig worauf ihr hinaus wollt, bzw
> > > was
> > > > Ist zum Beispiel [mm]a_{4711}=2^{4712}[/mm] und [mm]a_n=1[/mm] für
> > alle
> > > n [mm]>\ne4711,[/mm] welchen Konvergenzradius hat dann die
> > > Potenzreihe ?
> > > ich damit anfangen soll. Tut mir leid, aber ich steh wohl
> > > irgendwie auf dem schlauch.
> >
> > Nimm mal an, es sei [mm]a_n>2^n[/mm] für unendlich viele n und
> > zeige, dass dann der Konvergenzradius [mm]\le[/mm] 1/2 ist.
> [mm]a_n >2^n[/mm]
> könnte ich also eine Beispielrechnung des Konvergenzradius
> von [mm]a_n=3^n[/mm]
> machen?
Nein.
> >
> > FRED
> > >
> > > lg Seb
> >
Wenn [mm] a_n >2^n [/mm] für unendlich viele n ist, dann ist [mm] \wurzel[n]{|a_n|}>2 [/mm] für unendlich viele n.
Was bekommst Du für [mm] \limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left | a_n \right |} [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
>
>
> Wenn [mm]a_n >2^n[/mm] für unendlich viele n ist, dann ist
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}>2[/mm] für unendlich viele n.
>
> Was bekommst Du für [mm]\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left | a_n \right |}[/mm]
> ?
sage ich da unendlich wegen dem superior? ansonsten hätte ich gesagt >2.
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
Vielleicht kann mir auch einfach jemand die Lösung verraten? Ich glaub ich versteh einfach nicht was ich machen muss und vielleicht kann ich mich dann über die lösung durchfuchsen.
LG Seb
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Es wurde dir bereits mit dem Scheunentor gewunken:
Die Menge ist endlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
Die Antwort auf meine Frage ist: Die Menge ist endlich? Ok also mit so einer unkonkreten Antwort habe ich nicht gerechnet. Wie kann man denn sowas Begründen?
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> Die Antwort auf meine Frage ist: Die Menge ist endlich? Ok
> also mit so einer unkonkreten Antwort habe ich nicht
> gerechnet.
Unkonkretheit liegt, wie so vieles, im Auge des Betrachters.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
Und wie begründe ich dann sowas?
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Bitte lies dir den Thread nochmal in Ruhe durch.
Es wurden dir bereits Vorschläge gemacht, wie man die Aufgabe lösen kann. Vielleicht werden dir die Hinweise nun mit gelösten Scheuklappen klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was wäre wenn es abzählbar unendlich viele [mm] a:n>2^n [/mm] gäbe. 2. wieviele kann es dann geben.
Aber eigentlich steht das doch alles schon da!
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 22.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
"sage ich da unendlich wegen dem superior" fir Frage ist schon was schlimm.du musst wirklich nachsehen was lim sup ist!
und >2 ist richtig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 So 22.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo
> "sage ich da unendlich wegen dem superior" fir Frage ist
> schon was schlimm.du musst wirklich nachsehen was lim sup
> ist!
> und >2 ist richtig
>
nunja die frage hatte mich etwas irritiert, aber da der lim sup den größten grenzwert abfragt, habe ich gedacht (vielleicht etwas umständlich und nicht nachvollziehbar) was ist die höchste grenze von einer zahl welche >2 ist und da keine einschränkung vorhanden war dachte ich an [mm] \infty [/mm] .war eher eine antwort der verzweiflung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie schein dir nicht klar zu sein , dass für die Konvergenz einer Reihe die ersten paar Millionen oder Billionen Koeffizienten nicht aussagen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo
> irgendwie schein dir nicht klar zu sein , dass für die
> Konvergenz einer Reihe die ersten paar Millionen oder
> Billionen Koeffizienten nicht aussagen!
> Gruss leduart
Auch das leuchtet mir nicht so richtig ein, also das die konvergenz erst im unendlichen "erreicht" wird versteh ich schon, aber nicht was es damit zu tun hat?
LG Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 21.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ersten paar zig Millionen Summanden kann man doch einfach zusammenzählen und es ist garantiert eine endliche Zahl (die auch riesig sein darf. nur was danach kommt spielt für die Konvergenz (nicht für den Grenzwert) eine Rolle.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 22.06.2014 | | Autor: | Theb |
Also heißt das für mich jetzt, die Menge ist endlich, da im unendlichen der konvergenzradius r=1/2 werden würde, aber für einen bestimmte anzahl wäre ich immernoch in r=1
da z.b. [mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{2^{1000}} [/mm] = 1 [mm] \rightarrow [/mm] r = 1
Ist das so nun ansatzweise korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 So 22.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein das ist völlig falsch. bitte lies noch mal die posts durch.
der Konvrgenzradius IST etwas, er wird nichts im unendlichen!
Der lim, den du da hingeschrieben hast hat mit r einfach nichts zu tun.
Kannst du sagen, was ein Konvergenzradius bedeutet? Das ws du schreibst hat so wenig damit zu tun, dass ich denke due weisst es nicht.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 So 22.06.2014 | | Autor: | Theb |
Naja der Konvergenzradius sagt mir doch nur aus in welchem bereich meine Reihe konvergiert. Aber ich berechne diesen doch aus meinen Koeffizienten [mm] a_n. [/mm] Und jetzt soll ich prüfen wieviele [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^n [/mm] es geben soll, welche noch in meinem konvergenzbereich liegen? Ich versteh es leider überhaupt nicht. Die Posts helfen mir leider auch nicht, weil es mir so vorkommt als erzählt mir jeder irgendwas anderes. Tut mir wirklich leid das ich mit den, für euch anscheinend viel zu einfachen, fragen komme, aber ich kapiere auch einfach nicht auf was ihr hinauswollt. Wie kann ich mir denn das vorstellen wieviele solche [mm] a_n [/mm] vorkommen können? für mich ist [mm] a_n [/mm] der Koeffizent der Summe, aus welchen ich den konvergenzradius bestimmen kann. Nun ist ja aber hier das [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^n [/mm] und der konvergenzradius r=1 vorgegeben. Also muss ich ja irgendwie prüfen können das es koeffizienten gibt welche in meinem konvergenradius liegen oder? Das frustriert mich langsam so richtig. Und nochmal, tut mir leid wenn ich damit schon nerve.
LG Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 So 22.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Dein Problem scheint darin zu liegen, dass Du nict im Bilde bist, was der Limes superior einer Folge ist !
Gilt [mm] a_n [/mm] > [mm] 2^n [/mm] für unendlich viele n, so gilt auch [mm] \wurzel[n]{|a_n|}>2 [/mm] für unendlich viele n.
Somit gibt es eine Teilfolge [mm] (w_k) [/mm] von [mm] (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] mit [mm] w_k [/mm] >2 für alle k.
Damit ist lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}) \ge [/mm] 2. Warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 22.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Dein Problem scheint darin zu liegen, dass Du nict im Bilde
> bist, was der Limes superior einer Folge ist !
>
> Gilt [mm]a_n[/mm] > [mm]2^n[/mm] für unendlich viele n, so gilt auch
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}>2[/mm] für unendlich viele n.
>
> Somit gibt es eine Teilfolge [mm](w_k)[/mm] von [mm](\wurzel[n]{|a_n|})[/mm]
> mit [mm]w_k[/mm] >2 für alle k.
>
> Damit ist lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_n|}) \ge[/mm] 2. Warum ?
Weil der lim sup den höchsten Grenzwert einer Teilfolge bezeichnet... jetzt weiß ich aber nicht was das mit meiner frage zu tun hat?
>
> FRED
LG Seb
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Hallo,
> > Dein Problem scheint darin zu liegen, dass Du nict im Bilde
> > bist, was der Limes superior einer Folge ist !
> >
> > Gilt [mm]a_n[/mm] > [mm]2^n[/mm] für unendlich viele n, so gilt auch
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|}>2[/mm] für unendlich viele n.
> >
> > Somit gibt es eine Teilfolge [mm](w_k)[/mm] von [mm](\wurzel[n]{|a_n|})[/mm]
> > mit [mm]w_k[/mm] >2 für alle k.
> >
> > Damit ist lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_n|}) \ge[/mm] 2. Warum ?
> Weil der lim sup den höchsten Grenzwert einer Teilfolge
> bezeichnet... jetzt weiß ich aber nicht was das mit meiner
> frage zu tun hat?
Nun, wie sollte in diesem Fall ein Konvergenzradius von 1 zustandekommen?
Vielleicht liest du dir mal in Ruhe die bisher gegebenen Antworten nochmals durch. Abgesehen davon, dass die richtige Antwort bereits gegeben wurde: das ist hier so dermaßen einfach, da kommt man in Sekundenschnelle auf die richtige Antwort, wenn man die Begrifflichkeiten kennt. Also um es ganz klar zu sagen: wenn man für eine solch simple Frage einen so beachtlich großen Thread aufmacht, dann sollte man seine Arbeitsweise kritisch hinterfragen, und zwar im eigenen Interesse!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 So 22.06.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo,,
> Nun, wie sollte in diesem Fall ein Konvergenzradius von 1
> zustandekommen?
>
das ist ja jetzt genau mein Problem, man könnte sagen das [mm] a_n [/mm] für nicht unendlich viele n gilt, da dort der Konvergenzradius größer wird... jedoch ist das ja falsch (diese Antwort habe ich versucht mit einer Beispielrechnung zu erläutern und wurde als falsch abgestempelt).
> Vielleicht liest du dir mal in Ruhe die bisher gegebenen
> Antworten nochmals durch. Abgesehen davon, dass die
> richtige Antwort bereits gegeben wurde: das ist hier so
> dermaßen einfach, da kommt man in Sekundenschnelle auf
> die richtige Antwort, wenn man die Begrifflichkeiten kennt.
> Also um es ganz klar zu sagen: wenn man für eine solch
> simple Frage einen so beachtlich großen Thread aufmacht,
> dann sollte man seine Arbeitsweise kritisch hinterfragen,
> und zwar im eigenen Interesse!
Danke für die ehrlichen Worte, bin nunmal kein Mathematiker, für mich ist das nicht so einfach die gegebenen Fragen richtig zu lesen/zu deuten.
>
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> Gruß, Diophant
Trotzdem vielen Dank an Alle
LG Seb
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