Majorantenkrit. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 05.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige die Konvergenz!
[mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2}
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}
[/mm]
[mm] d)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}
[/mm]
[mm] e)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[k]{k}}{2^k} [/mm] |
Ich brauche mal wieder etwas hilfe, da ich mit Konvergenz noch immer so meine Probleme habe! Es geht darum Konvergenz mit dem Majorantenkriterium zu zeigen. Meine Idee:
[mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}
[/mm]
Da [mm] 3k^4\ge [/mm] 0 [mm] \gdw k\ge [/mm] 0 ist der Nenner [mm] 3k^4+2 [/mm] positiv für [mm] k\ge [/mm] 0
[mm] k\ge [/mm] 0 [mm] \to |\bruch{k^2-1}{3k^4+2}| =\bruch{k^2-1}{3k^4+2}\le \bruch{k^2}{3k^4}=\bruch{1}{3k^2}
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3k^2} [/mm] konvergent ist auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2} [/mm] konvergent
[mm] b)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2}
[/mm]
Da [mm] 3k^4\ge [/mm] 0 [mm] \gdw k\ge [/mm] 1 ist der Nenner [mm] 3k^4+2 [/mm] positiv für [mm] k\ge [/mm] 1
[mm] k\ge [/mm] 1 [mm] \to |\bruch{k+1}{3k^4-2}| =\bruch{k+1}{3k^4-2}\le \bruch{2k}{3k^4}=\bruch{2}{3k^3}
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2}{3k^3} [/mm] konvergent ist auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2} [/mm] konvergent
Stimmt das soweit?
Bei den nächsten Reihen weiß ich nicht, wei das Majorantenkriterium anzuwenden ist.
[mm] c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}
[/mm]
[mm] d)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}
[/mm]
[mm] e)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[k]{k}}{2^k}
[/mm]
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 05.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Zeige die Konvergenz!
>
> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2}[/mm]
>
> [mm]c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}[/mm]
>
> [mm]d)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}[/mm]
>
> [mm]e)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[k]{k}}{2^k}[/mm]
> Ich brauche mal wieder etwas hilfe, da ich mit Konvergenz
> noch immer so meine Probleme habe! Es geht darum Konvergenz
> mit dem Majorantenkriterium zu zeigen. Meine Idee:
>
> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm]
>
> Da [mm]3k^4\ge[/mm] 0 [mm]\gdw k\ge[/mm] 0 ist der Nenner [mm]3k^4+2[/mm] positiv für
> [mm]k\ge[/mm] 0
Der Nenner ist in der Tat positiv, und zwar für alle k. Aber die Äquivalenz [mm]k^{4}\ge0\Leftrightarrow k\ge0[/mm] ist falsch, denn [mm](-4)^{4}\ge0[/mm] aber [mm]-4\le0[/mm]. Du musst hier anders argumentieren, dass [mm] 3k^{4}+2\ge0
[/mm]
>
> [mm]k\ge[/mm] 0 [mm]\to |\bruch{k^2-1}{3k^4+2}| =\bruch{k^2-1}{3k^4+2}\le \bruch{k^2}{3k^4}=\bruch{1}{3k^2}[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3k^2}[/mm] konvergent ist auch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm] konvergent
>
Das ist dann korrekt. Du solltest aber die ein oder andere Abschätzung noch begründen, vor allem den Schritt, bei dem du den Nenner verkleinerst und gleichzeitig den Zähler vergrößerst.
Das solltest du nicht "en bloc" erledigen.
>
>
> [mm]b)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2}[/mm]
>
> Da [mm]3k^4\ge[/mm] 0 [mm]\gdw k\ge[/mm] 1 ist der Nenner [mm]3k^4+2[/mm] positiv für
> [mm]k\ge[/mm] 1
Die Äquivalenz [mm] $3k^{4}\ge0\Leftrightarrow k\ge1$ [/mm] ist falsch.
Argumentiere hier sauber.
>
> [mm]k\ge[/mm] 1 [mm]\to |\bruch{k+1}{3k^4-2}| =\bruch{k+1}{3k^4-2}\le \bruch{2k}{3k^4}=\bruch{2}{3k^3}[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2}{3k^3}[/mm] konvergent ist auch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k+1}{3k^4-2}[/mm] konvergent
>
> Stimmt das soweit?
Ja, aber ein bisschen mehr Text drumherum wäre schön.
> Bei den nächsten Reihen weiß ich nicht, wei das
> Majorantenkriterium anzuwenden ist.
>
>
> [mm]c)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}[/mm]
Welche Reihe meinst du hier? Denke mal an die e-Funktion als Grenzwert einer bestimmten Reihe.
>
> [mm]d)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}[/mm]
Klammere mal [mm] k^{2} [/mm] aus, und kürze dann.
>
> [mm]e)\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[k]{k}}{2^k}[/mm]
Zeige, dass
[mm] \sqrt[k]{k}\le2
[/mm]
Das sollte ungemein weiterhelfen.
>
>
> LG
> heinze
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Kannst du mir zeigen, wie ich das mit der Äquivalenz in a) und b) richtig mache?
c) Grenzwert in Zusammenhang mit e-Funktion habe ich leider noch nichts im Studium zu gehört sorry. kannst du nochmal erklären was du meinst?
wenn ich bei d) [mm] k^2 [/mm] ausklammere, was hilft mir das?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}=\bruch{1-\bruch{\wurzel{k}}{k^2}+\bruch{3}{k^2}}{\bruch{2}{k^2}-k^3}
[/mm]
mit e) komme ich auch nicht zurecht.
Gibt es irgendwelche Tipps, wie man mit Reihen und Konvergenz besser umgehen kann? Bzw wie ich das besser verstehen kann?
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Kann mir bei der aufgabe niemand weiterhelfen?
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 06.06.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo heinze,
> Kann mir bei der aufgabe niemand weiterhelfen?
Doch, das könnten viele. Aber es ist jetzt schon so chaotisch, dass es keinen Spaß macht. Da stehen fünf Aufgaben, zwischen denen Du hin- und herhüpfst, und man muss sich im Thread (erst recht, wenn er länger wird) dann die schon gegebenen und besprochenen Informationen zusammensuchen. Jetzt gerade muss ich ja schon separat Deine erste Anfrage und die zu beantwortende Frage öffnen, damit ich überhaupt die Aufgaben sehe und sie mir dann auch noch vom einen Beitrag in den andern kopieren muss, ohne die eingebaute Zitierfunktion nutzen zu können.
Und darauf habe ich schlicht keine Lust. Ich vermute, dass das anderen auch so geht.
Du bist hier jetzt echt lange genug dabei, um zu wissen, dass Du für jede Aufgabe einen eigenen Thread aufmachen sollst, statt ganze Übungszettel einzustellen. Die machst Du besser alleine.
Grüße
reverend
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Hallo heinze,
> Kannst du mir zeigen, wie ich das mit der Äquivalenz in a)
> und b) richtig mache?
>
Darauf wurde ja schon eingegangen, und man muss hier konstatieren, dass du es dir schlicht und ergreifend zu leicht machst. Es ist nicht damit getan, wild mit irgendwelchen Symbolen um sich zu schmeißen, sondern man muss deren Bedeutung kennen und stets genau überlegen, was man tut. Das erfordert einfach eine innere Haltung der Sorgfalt und der Gründlichkeit, die man leider deinen Fragen hier oft genug nicht entnehmen kann. Ich will jetzt nicht einfach darauf schließen, dass dir diese Fähigkeiten abgehen, aber wenn du in der Mathematik weiterkommen möchtest, dann spielen diese Fähigkeiten dabei eine entscheidende Rolle.
> c) Grenzwert in Zusammenhang mit e-Funktion habe ich leider
> noch nichts im Studium zu gehört sorry. kannst du nochmal
> erklären was du meinst?
M.Rex meinte hier wohl
[mm]e^x= \lim_{n\rightarrow\infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n[/mm]
Ich habe auch den ganzen Tag gedanklich immer wieder an diesem Tipp rumgeknobelt, ich glaube aber, dass es ein Irrtum wart. Die Sache geht viel einfacher:
Nutze (bzw. zeige es ggf. noch)
[mm] k<2^k
[/mm]
und damit
[mm] k*2^k<4^k
[/mm]
sowie die äußerst elementare Kenntnis, dass für |q|<1 und n>m stets
[mm] |q|^n<|q|^m
[/mm]
gilt. Das führt auf eine elementare Majorante.
>
> wenn ich bei d) [mm]k^2[/mm] ausklammere, was hilft mir das?
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-\wurzel{k}+3}{2-k^5}=\bruch{1-\bruch{\wurzel{k}}{k^2}+\bruch{3}{k^2}}{\bruch{2}{k^2}-k^3}[/mm]
>
Hier muss mal zunächst bedacht werden, dass die Reihe einen negativen Reihenwert besitzt (weshalb?). Von daher muss man entweder
- eine konvergente Minorante suchen
- oder das Minuszeichen im Nenner vor die Summe ziehen und nach einer konvergenten Majorante suchen.
Man kommt hier aber mit der Technik, den Zähler zu vergrößern und den Nenner zu verkleinern, sofort ans Ziel, ohne dass man faktorisieren muss.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Ja, das der Reihenwert negativ ist, das ist mit bewusst!!
Das ich die Formalien nicht beherrsche liegt daran, dass wie das so formal nie in den Übungen gemacht haben! Daher ist das für mich neu!!!
Kann ich nicht einfach als Abschätzung [mm] \bruch{k^2}{k^5}=\bruch{1}{k^3} [/mm] abschätzen? das würde ja die Konvergenz zeigen!
Wie meinst du es, dass ich das Vorzeichen vor die Summe ziehen kann?
LG
heinze
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Hallo heinze,
dein eigentliches Problem ist deine grenzenlose Unselbstständigkeit:
> Kann ich nicht einfach als Abschätzung
> [mm]\bruch{k^2}{k^5}=\bruch{1}{k^3}[/mm] abschätzen? das würde ja
> die Konvergenz zeigen!
Das kann man schon machen, es ist aber eine relativ lose Argumentation. Von daher ist es deine Entscheidung, ob du das im Rahmen der hier gestellten Aufgaben tun darfst oder nicht, das ist doch nicht unsere Sache.
>
> Wie meinst du es, dass ich das Vorzeichen vor die Summe
> ziehen kann?
[mm] 2-k^5=-(k^5-2)
[/mm]
und jetzt das Minsuzeichen vor die Summe ziehen. Das ist Stoff Klasse 5!!!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du mir zeigen, wie ich das mit der Äquivalenz in a)
> und b) richtig mache?
>
> c) Grenzwert in Zusammenhang mit e-Funktion habe ich leider
> noch nichts im Studium zu gehört sorry. kannst du nochmal
> erklären was du meinst?
Marius meinte hier (vielleicht!):
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}} [/mm] $$
Es gilt:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}=\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}=\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{k2^k}{(k+1)^{3k}}*\frac{k^{3k-1}}{k^{3k-1}}=\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{1}{(1+\tfrac{1}{k})^{3k}}*\frac{2^k}{k^{3k-1}}=\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{1}{((1+\tfrac{1}{k})^k)^3}*\frac{2^k}{k^{3k-1}}$$
[/mm]
[mm] $$=\summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{((1+\tfrac{1}{k})^k)^3}*\frac{2^k}{k^{3k-1}}+\summe_{k=\red{3}}^{\infty}\bruch{1}{((1+\tfrac{1}{k})^k)^3}*\frac{2^k}{k^{3k-1}} \;\;\;\le\;\;\; \summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{((1+\tfrac{1}{k})^k)^3}*\frac{2^k}{k^{3k-1}}+\summe_{k=\red{3}}^{\infty}\bruch{1}{((1+\tfrac{1}{k})^k)^3}*\frac{2^k}{\red{\textbf{3}}^{3k-1}}$$
[/mm]
Und die Folge [mm] ${((1+\tfrac{1}{k})^k)^3)}_{k=1}^\infty$ [/mm] ist konvergent, und damit sowohl
nach oben, also auch - hier wichtiger - nach unten beschränkt, und letzteres
"sogar" durch eine Zahl $> [mm] 0\,.$ [/mm] (Das ist hier das Wichtigste!)
Und [mm] $2^k/3^{3k-1}$ [/mm] kann man leicht durch [mm] $(2/3)^k$ [/mm] abschätzen:
[mm] $$\frac{2^k}{3^{3k-1}} \le (\tfrac{2}{3})^k$$
[/mm]
[mm] $$\iff 3^k \le 3^{3k-1}$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] 1 [mm] \le 3^{2k-1}\,.$$
[/mm]
Letztstehende Ungleichung gilt offensichtlich für alle $k [mm] \ge 1\,,$ [/mm] also auch
für alle $k [mm] \ge 3\,,$ [/mm] sie impliziert dann, indem man die Umformungen von unten
nach oben liest und in den [mm] $\iff$ [/mm] dann die Richtung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] benutzt, die Behauptung.
P.S. Wirklich elegant ist das allerdings wirklich nicht. Es geht definitiv
einfacher!
P.P.S. Oder, ob Marius hier wirklich [mm] $e^x=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)$ [/mm] ins Spiel bringen wollte,
das weiß ich nicht. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Do 06.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> P.P.S. Oder, ob Marius hier wirklich [mm]e^x=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)[/mm]
> ins Spiel bringen wollte,
> das weiß ich nicht. ^^
>
> Gruß,
> Marcel
Das war in der Tat mein erster, nicht zuende durchdachter Gedanke. Eure Lösungen sind definitiv eleganter.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> Hallo
> > P.P.S. Oder, ob Marius hier wirklich
> [mm]e^x=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)[/mm]
> > ins Spiel bringen
> wollte,
> > das weiß ich nicht. ^^
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Das war in der Tat mein erster, nicht zuende durchdachter
> Gedanke. Eure Lösungen sind definitiv eleganter.
hat das funktioniert? Oder ging' es doch schief, als Du es zu Ende gedacht
hast? (Was ja nicht schlimm ist; mich interessiert's gerade einfach nur!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Do 06.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marcel
> Hallo Marius,
>
> > Hallo
> > > P.P.S. Oder, ob Marius hier wirklich
> > [mm]e^x=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)[/mm]
> > > ins Spiel bringen
> > wollte,
> > > das weiß ich nicht. ^^
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Das war in der Tat mein erster, nicht zuende durchdachter
> > Gedanke. Eure Lösungen sind definitiv eleganter.
>
> hat das funktioniert? Oder ging' es doch schief, als Du es
> zu Ende gedacht
> hast? (Was ja nicht schlimm ist; mich interessiert's
> gerade einfach nur!)
Um ehrlich zu sein, habe ich da dann gar nicht weiter drüber nachgedacht [*in die Ecke stell*], wir hatten in unseren Übungen mal einen Zettel, der hervorragend damit lösbar war. Aber unser Dozent hatte sowieso ein gewisses Faible für die eulersche Zahl, irgendwie ist das bei mir noch hängengeblieben.
>
> Gruß,
> Marcel
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber unser Dozent hatte sowieso ein gewisses
> Faible für die eulersche Zahl
sympathischer Mensch. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige die Konvergenz!
> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm]
>
> Da [mm]3k^4\ge[/mm] 0 [mm]\gdw k\ge[/mm] 0
wie Marius sagte, ist es einfach falsch, zu sagen, dass [mm] $3k^4 \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0$ wäre.
Das brauchst Du aber auch nicht, Dir reicht es, dass (sogar ohne irgendwelche
Vorzeichen von [mm] $k\,$ [/mm] beachten zu müssen), dass sowieso
[mm] $$3k^4 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow 3k^4+2 [/mm] > 0$$
gilt. (Die Begründung ist einfach: $3 > [mm] 0\,,$ $k^4=(k^2)^2 \ge [/mm] 0$ liefert [mm] $3k^4 \ge 0\,$; [/mm] das würde
sogar für jedes relle [mm] $k\,$ [/mm] gelten!)
> ist der Nenner [mm]3k^4+2[/mm] positiv für
> [mm]k\ge[/mm] 0
Eben: Du brauchst bei dieser Argumentation nirgends, dass [mm] $3k^4 \ge [/mm] 0 [mm] \;\;\;\Rightarrow\;\;\; [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0$ gelten
würde.
> [mm]k\ge[/mm] 0 [mm]\to[/mm]
Das brauchst Du hier nicht, siehe oben; es ist aber nicht falsch!
> [mm]|\bruch{k^2-1}{3k^4+2}| =\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm]
Hier machst Du einen Fehler für [mm] $k=0\,$! [/mm] (Gehen wir davon aus, dass bei Dir
immer $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] sei!)
> [mm]\le \bruch{k^2}{3k^4}=\bruch{1}{3k^2}[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3k^2}[/mm] konvergent
Warum? (Oder habt ihr das in der Vorlesung bewiesen?)
> ist [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}[/mm] konvergent
So schlecht war das nicht, aber ich schreib's nochmal richtig zusammen, vor
allem müssen wir den kleinen Patzer noch entfernen:
Betrachten wir
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}$$
[/mm]
Es gilt (das folgende ist eine Grenzwertgleichheit!)
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}=\frac{-1}{3k^4+2}+\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}\,,$$
[/mm]
weil wir zeigen werden, dass die Reihe [mm] $\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}$ [/mm] konvergiert.
Wegen [mm] $3k^4+2 [/mm] > 0$ (das gilt sogar für alle $k [mm] \in \IR$) [/mm] und weil für $k [mm] \ge [/mm] 1$ auch [mm] $k^2-1 \ge [/mm] 0$ gilt,
sind alle Summanden
[mm] $$\bruch{k^2-1}{3k^4+2}$$
[/mm]
der Reihe [mm] $\summe_{k=\red{1}}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2}$ [/mm] auch [mm] $\ge 0\,.$
[/mm]
Für $k [mm] \ge [/mm] 1$ gilt: Aus [mm] $3k^4+2 \ge 3k^4$ [/mm] folgt [mm] $\tfrac{1}{3k^4} \ge \tfrac{1}{3k^4+2}$ [/mm] und damit
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4}$$
[/mm]
Da zudem (für alle $k [mm] \in \IR$ [/mm] sogar) gilt [mm] $k^2-1 \le k^2\,,$ [/mm] folgt
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4}\le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2}{3k^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3k^2}=\frac{1}{3}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2-1}{3k^4+2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}$$
[/mm]
Du siehst: Eigentlich mache ich genau das, was Du auch machst. Mit einem
wesentlichen Unterschied:
Wenn ich nur eine Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ brauche, behaupte ich dabei
nicht einfach, dass da automatisch $A [mm] \gdw [/mm] B$ gelten würde.
Und einem kleinen Unterschied:
Ich behaupte nirgends, dass [mm] $|k^2-1|=k^2-1$ [/mm] für $k [mm] \ge [/mm] 0$ gelten würde; sondern nur,
dass das für $k [mm] \ge [/mm] 1$ gilt (tatsächlich gilt das für $k [mm] \ge [/mm] 1$ oder $k [mm] \le -1\,,$ [/mm] nur
brauchen wir den Fall $k [mm] \le [/mm] -1$ auch nicht...) Und dafür "zerlege" ich die
Reihe ein wenig...
Ansonsten gilt genau das, was reverend sagte: Bitte die Aufgabe "splitten"!!
Gruß,
Marcel
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