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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 10.11.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Sei c²+s²=1 und A die Spiegelung an der Geraden [mm] \IR*(c,s)
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix von A. |
Gesucht ist doch die Darstellungsmatrix von T bzgl. der Standardbasen des Urbild- und des Zielraumes, also bzgl. $ [mm] \mathcal{B}=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\} [/mm] $
Es ist $ [mm] T\vektor{1\\0}=\vektor{0\\1} [/mm] \ [mm] \text{gem. Abbildungsvorschrift} [/mm] $
Diesen Bildvektor gilt es nun als LK der Basisvektoren des Zielraumes darzustellen ...
$ [mm] \vektor{0\\1}=a\cdot{}\vektor{1\\0}+b\cdot{}\vektor{0\\1} [/mm] $
Woraus du direkt a=0, b=1 ablesen kannst.
Also ist die erste Spalte der Darstellungsmatix der Koeffizientenvektor $ [mm] \vektor{a\\b}=\vektor{0\\1} [/mm] $
Wie muss ich jetzt weiter machen, damit ich auf die zweite Spalte komme?
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Hallo LisaK
> Sei [mm] c^2+s^2=1 [/mm] und A die Spiegelung an der Geraden
> [mm]\IR*(c,s)[/mm]
> Bestimmen Sie die Matrix von A.
> Gesucht ist doch die Darstellungsmatrix von T bzgl. der
> Standardbasen des Urbild- und des Zielraumes, also bzgl.
> [mm]\mathcal{B}=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}[/mm]
Ja, das ist so gemeint.
> Es ist [mm]T\vektor{1\\0}=\vektor{0\\1} \ \text{gem. Abbildungsvorschrift}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie kommst du denn darauf ??
Es scheint mir, dass du die Aufgabenstellung nicht
recht verstanden hast. Ich musste diese auch zweimal
lesen, muss aber gestehen, dass sie recht elegant
formuliert ist.
Mit der Geraden [mm]\IR*(c,s)[/mm] ist die Gerade gemeint,
die man sonst etwa so beschreiben würde:
$\ [mm] g:\quad \pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0}+t*\pmat{c\\s}\qquad (t\in\IR)$
[/mm]
g ist also die durch den Nullpunkt O(0|0) gehende
Gerade mit dem Richtungsvektor [mm] $\vec{d}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{c\\s}$
[/mm]
Die Buchstaben c und s sind dabei bestimmt so gedacht:
[mm] c=cos(\alpha) [/mm] und [mm] s=sin(\alpha)
[/mm]
Darauf wies auch schon die Gleichung [mm] c^2+s^2=1 [/mm] hin.
Dabei ist [mm] \alpha [/mm] einfach der Winkel, den die Gerade g
mit der x-Achse bildet.
Damit kann man sich die Aufgabenstellung mittels
einer einfachen Skizze sehr schön veranschaulichen.
Mir hat diese Betrachtung jedenfalls einen sehr
eleganten Weg gezeigt, wie man die Abbildungs-
matrix der Spiegelung A mit minimalem Aufwand
hinschreiben kann !
Ich möchte dir jetzt aber das Vergnügen, diesen
Weg selber zu finden, nicht gleich verderben ... 
Bis später ...
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 10.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Ich hätte jetzt: [mm] R_{cs}*R_{-cs}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
c & -s \\
s & c
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
s & -c \\
c & s
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cs-cs & -c²-s² \\
s²+c² & -cs+cs
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
passt das so?
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> Ich hätte jetzt: [mm]R_{cs}*R_{-cs}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
c & -s \\
s & c
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
s & -c \\
c & s
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cs-cs & -c²-s² \\
s²+c² & -cs+cs
\end{pmatrix}\ \red{\underbrace{\quad=\quad}_{warum\ ??}}\ \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> passt das so?
Nein. Deine letzte Matrix würde eine Drehung
um 90° um O(0|0) beschreiben, keine Spie-
gelung.
Erkläre doch bitte, was du dir überlegt hast.
Was genau meinst du mit deinen R-Matrizen ?
Und weshalb denkst du, dass c+s=1 sein soll ?
(Aha, ich habe gemerkt, weshalb da die Exponenten
verschwunden sind: verwende doch bitte hier nie
die ASCII-Exponenten, welche von TEX ignoriert
werden, sondern schreibe alle Potenzen mittels " ^ " !)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 10.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Ich hab als R als Gerade verstanden, das hatten wir so in der Vorlesung:
[mm] R_{cs}*r_{sc}= \begin{pmatrix}
c & -s \\
s & c
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
s & c \\
c & -s
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Dann wären es doch zwei Spiegelungen. Oder bin ich da falsch? Wenn ja, könntest du mir bitte mal den Ansatz erklären?
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> Ich hab als R als Gerade verstanden, das hatten wir so in
> der Vorlesung:
>
> [mm]R_{cs}*r_{sc}= \begin{pmatrix}
c & -s \\
s & c
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
s & c \\
c & -s
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann wären es doch zwei Spiegelungen. Oder bin ich da
> falsch? Wenn ja, könntest du mir bitte mal den Ansatz
> erklären?
Vorher hattest du geschrieben:
> Ich hätte jetzt: $ [mm] R_{cs}\cdot{}R_{-cs} [/mm] $
> $ [mm] \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} s & -c \\ c & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cs-cs & -c²-s² \\ s²+c² & -cs+cs \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $
Nun, jedenfalls kann keines dieser beiden Ergebnisse
stimmen, denn die Matrix der gesuchten Abbildungen
muss doch auch am Ende noch von der genauen Lage
der Spiegelachse g und damit vom Winkel [mm] \alpha [/mm] und
damit von c und s abhängig sein. Bei deinen obigen
Rechnungen sind allerdings c und s verschwunden !
Ein Standardweg zur Lösung wäre z.B. der, dass man
die Spiegelung an g in eine Folge von 3 Teilabbildungen
zerlegt, nämlich:
1.) Drehung, welche g in die x-Achse überführt
2.) Spiegelung an der x-Achse
3.) ursprüngliche Drehung rückgängig machen
Jede dieser 3 Teilabbildungen kann durch eine Matrix
beschrieben werden, sagen wir D , S und [mm] D^{-1}
[/mm]
(da stecken dann deine Rotationsmatrizen, aber
eben auch noch eine einfache Spiegelung drin).
Die gesuchte Darstellungsmatrix T erhältst du dann
als Produkt der 3 Matrizen (Vorsicht auf die Reihen-
folge !).
Führe diesen Prozess doch bitte durch, das lohnt
sich als gute Übung jedenfalls.
Die wirklich elegante Lösung, die mir vorschwebt
und auf die ich gerne noch etwas näher eingehen
werde (aber nicht mehr heute Abend), beruht
auf einer einfachen geometrischen Betrachtung
der Frage: Wie muss T die Einheitsvektoren
[mm] $\pmat{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0\\1}$
[/mm]
abbilden ?
LG und schönen Sonntagabend !
Al-Chw.
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