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| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrix [mm] _{C}M_{B} [/mm] (f) der linearen Abbildung F: V --> W bezüglich den Basen B für V und C für W.
Im Fall W = [mm] R^{3}; [/mm] V ist der Lösungsraum x+y+z=0; f ist Inklusion f(v)=v; B= (1,0,-1); (1,-2,1); C= [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] |
Wie geh ich da ran?
Ich muss da ja zum Schluss auf eine 3x3 Matrix kommen.
Kann mir jemand erklären wie ich auf diese Darstellungsmatrix komme?
Ich habe mir den Theoriekram schon durchgelesen, aber ich finde keinen Ansatz.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo sethonator,
du musst ja die Basis B auf C abbilden. Das sieht konkret so aus:
Da f(v)=v, bildest du durch f den ersten Basisvektor aus B ab, also:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}=1*e1+0*e2-1*e3 [/mm] (*)
Man stellt also die Bilder der Vektoren aus B durch die Basis C dar.
Analog für den zweiten Basisvektor aus B, also:
[mm] f(\vektor{1 \\-2 \\ 1})=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}=1*e1-2*e2+1*e3 [/mm] (**)
dann schreibst du die Koeffizienten der Basisvektoren aus C aus (*) bzw. (**), untereinander auf, also folgendermaßen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\0 & -2 \\ -1 & 1 }
[/mm]
und das ist auch schon deine Darstellungsmatrix. Was allerdings nur eine 3x2 Matrix ist, da B ja nur aus 2 Basisvektoren besteht. Ich hoffe, du kannst das einigermaßen nachvollziehen ^^
Gruß Docy
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Hey danke für Deine schnelle Antwort....
Aber mal eine ganz doofe Frage, welche Kenntnis habe ich aus den Zwischenschritten gewonnen?
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}=1*e1+0*e2-1*e3[/mm]
> (*)
> Man stellt also die Bilder der Vektoren aus B durch die
> Basis C dar.
> Analog für den zweiten Basisvektor aus B, also:
> [mm]f(\vektor{1 \\-2 \\ 1})=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}=1*e1-2*e2+1*e3[/mm]
> (**)
Ich könnte doch theoretisch einfach meine Basisvektoren aus B nehmen und die so aufschreiben...
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\0 & -2 \\ -1 & 1 }[/mm]
Oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Do 18.12.2008 | | Autor: | sethonator |
Ach ich glaub ich habs verstanden....
Ich muss ja prüfen, ob die Bedingungen erfüllt sind....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
In diesem Fall hättest du das machen können, aber im Allgemeinen hängt das ja von der Abbildung f ab, d.h. wenn jetzt f(v)=v+1 (die 1 soll hier ein Vektor mit einsen sein) wäre, dann
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}=2\cdot{}e1+1\cdot{}e2+0\cdot{}e3
[/mm]
und so weiter....
Ich hoffe, damit ist die Frage beantwortet. Wenn nicht, noch mal nachfragen.
Gruß Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Do 18.12.2008 | | Autor: | sethonator |
Ja, ich denke, dass ich die Aufgabe verstanden habe. Da gibt es allerdings noch weitaus mehr, wo ich noch Probleme habe.
Aber das steht in einem anderen Beitrag.
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