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Meine Frage dient eher dem erweiterten Verständnis. Sie gehört vielleicht eher in Hochschulmathematik, aber da ich die Frage in der Schule hatte, stelle ich sie mal hier.
Es geht um Matritzen und deren Inverse. In unserem Buch steht
B heißt Inverse zu einer Matrix A, falls A*B = B*A = E (wobei E die Einheitsmatrix ist und A,B nxn-Matritzen sind).
Soweit ich weiß, gibt es kein Beispiel bei Matritzen, sodass A*B = E gilt aber B*A [mm] \not= [/mm] E gilt (vorausgesetzt, beide Matritzen sind jeweils quadratisch). Stimmt das?
Ist es in einer Halbgruppe G(M, [mm] \circ [/mm] ) allgemein so, dass wenn es zu einem a [mm] \in [/mm] M ein [mm] b\in [/mm] M gibt, sodass b [mm] \circ [/mm] a = e daraus dann folgt, dass a [mm] \circ [/mm] b = e gilt?
Ich habe den Beweis gefunden, dass es in einer Gruppe gelten muss.
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1/la1-02.pdf auf Seite 2.
In einer Halbgruppe funktioniert dieser Beweis glaube ich nicht, da wenn es zu einem a [mm] \in [/mm] M ein [mm] b\in [/mm] M gibt, sodass b [mm] \circ [/mm] a = e gilt, nicht gegeben ist, ob ein inverses Element zu b überhaupt exestiert.
Meine Frage ist also, ob dieser Sachverhalt in jeder allgemeinen Halbgruppe gilt. (warum?)
Wenn nicht, wie beweise ich, dass es in der Halbgruppe der nxn-Matritzen mit der Verknüpfung * gilt?
Grüße,
Andrei
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Hallo Andrei,
wie kommst du darauf, die Multiplikation von nxn-Matrizen sei eine Halbgruppe? Das ist falsch: es handelt sich um eine nicht abelsche Gruppe mit einem nicht-trivialen Zentrum (d.h., es gibt eine abelsche Untergruppe, welche?). Damit sollten sich eigentlich deine sämtlichen Fragen beantworten.
Das neutrale Element ist natürlich die Einheitsmatrix, das Inverse eben die inverse Matrix. Wichtig ist vielleicht noch, dass wir, um ganz genau zu sein, von allen nxn-Matrizen mit einer von 0 verschiedenen Determinante sprechen! Du könntest ja spaßeshalber die Gruppenaxiome nochmal nachweisen?
Gruß, Diophant
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Das ist mir noch nciht ganz klar.
Du meinst also, G(M, [mm] \circ) [/mm] mit M={A | det(a) [mm] \not= [/mm] 0} sei eine Gruppe. Wie weise ich das denn nach? Ich müsste dann doch erstmal nachweisen, dass für A,B [mm] \in [/mm] M gilt: A*B [mm] \in [/mm] M. Das müsste man doch mit Determinantenformel det(A*B) = det(A)*det(B) machen, das hatten wir aber noch nicht und das ist doch zu kompliziert, oder? Ich meine, bevor man eine Determinante definiert, müsste man ja so die Basissachen klären, und meine Frage ist ja eine Basissache.
Also: Müssen wir das über diese Untergruppe machen, oder gibt es noch einen anderen Weg? Denn ohne Determinante wüsste ich nicht, wie ich die Gruppenaxiome nachweisen soll.
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Hallo,
nun, wenn du eine inverse Matrix voraussetzt, so auch automatisch, dass die beteilgten Matrizen eine Determinante ungleich Null besitzen. Denn dies ist äquivalent zu der Existenz einer inversen Matrix.
Das mit dem Nachweis der Gruppenaxiome war ja nur so als Tipp gedacht, sich den ganzen Sachverhalt etwas zu verdeutlichen. Meine eigentliche Intention war die, darauf hinzuweisen, dass es IMO keinen Sinn macht, das ganze als Halbgruppe aufzufassen. Denn eine Halbgruppe besitzt ja noch nicht einmal ein neutrales Element, geschweige denn ein Inverses.
Der langen Rede kurzer Sinn: A*B=E <=> B*A=E ist richtig. Du kannst das auch einfach nachrechnen, indem du die Gleichung A*B=E sukzessive umformst und dabei ausnutzt, dass A und B zueinander invers sind.
Gruß, Diophant
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