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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 21.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Es sei $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 4$. Bekanntlich ist
[mm] $B:=\{ 1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\}$
[/mm]
eine Basis von $V$.
Wir betrachten die lineare Abbildung
$F: V [mm] \to [/mm] V$, $f [mm] \mapsto [/mm] f'$
wobei $f'$ die erste Ableitung von $f$ bezeichnet.
(Im Folgenden darf das aus der Schule bekannte Wissen über die Ableitung genutzt werden.)
(i) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von $F := A$ bzgl. der Basis $B$
(ii) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von $F$ |
Hallo zusammen,
ich habe einige Probleme mit diesen beiden Aufgabenteilen. Zwar habe ich sowohl für (i) als auch für (ii) einen Ansatz aber mehr auch nicht.
Also zunächst mal gilt für (i) und (ii):
[mm] b_{1} [/mm] := 1 , [mm] b_{2} [/mm] := x , [mm] b_{3} [/mm] := [mm] x^{2} [/mm] ,
[mm] b_{4} [/mm] := [mm] x^{3} [/mm] , [mm] b_{5} [/mm] := [mm] x^{4}
[/mm]
[u] zu (i) [u]
A = ( [mm] a_{ij}) [/mm] = F( [mm] b_{j}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{5} a_{ij} b_{i} [/mm] j = 1,2,3,4,5
Also habe ich F( b_(1)) bis F( [mm] b_{5}) [/mm] errechnet, so dass ich schließlich folgendes LGS bekomme:
I
[mm] x^{4} a_{51}+ x^{3} a_{41}+ x^{2} a_{31} [/mm] + x [mm] a_{21} [/mm] + [mm] a_{11}=0
[/mm]
II
[mm] x^{4} a_{52}+ x^{3} a_{42}+ x^{2} a_{32} [/mm] + x [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{12}=1
[/mm]
III
[mm] x^{4} a_{53}+ x^{3} a_{43}+ x^{2} a_{33} [/mm] + x [mm] a_{23} [/mm] + [mm] a_{13}=2x
[/mm]
IV
[mm] x^{4} a_{54}+ x^{3} a_{44}+ x^{2} a_{34} [/mm] + x [mm] a_{24} [/mm] + [mm] a_{14}=3 x^{2}
[/mm]
V
[mm] x^{4} a_{55}+ x^{3} a_{45}+ x^{2} a_{35} [/mm] + x [mm] a_{25} [/mm] + [mm] a_{15}=4 x^{3}
[/mm]
Ab hier habe ich keine Ahnung wie ich damit umgehen soll. Ist der Ansatz überhaupt richtig? Was soll ich machen?
[u] zu (ii) [u]
Sei nun x [mm] \in \IR [/mm] beliebig und a,b,c,d,e [mm] \in \IR [/mm] dann gilt, da es sich um Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 4 handelt:
f = a [mm] x^{4}+ [/mm] b [mm] x^{3} [/mm] + c [mm] x^{2} [/mm] + d x + e
f' = 4a [mm] x^{3} [/mm] + 3b [mm] x^{2} [/mm] + 2cx + d
[i] zum Kern [i]
KerF = { f [mm] \in [/mm] V | F(f) = 0}
Also ist KerF = { f [mm] \in [/mm] V | f' = 0}.
Somit:
KerF = {a [mm] x^{4}+ [/mm] b [mm] x^{3} [/mm] + c [mm] x^{2} [/mm] + d x + e | 4a [mm] x^{3} [/mm] + 3b [mm] x^{2} [/mm] + 2cx + d = 0 }
[i] zum Bild [i]
ImF = {f' [mm] \in [/mm] V | [mm] \exists [/mm] f [mm] \in [/mm] V: f' = F(f)}
Also ist ImF = {f' [mm] \in [/mm] V | f' = f'}
Somit:
ImF = {4a [mm] x^{3} [/mm] + 3b [mm] x^{2} [/mm] + 2cx + d}
Das kann doch in beiden Fällen nicht alles sein oder!? Was hab ich nicht beachtet?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. DANKE schon mal im Voraus.
Gruß, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Maceo |
Hallo Patrick,
> (i) Bestimmen sie die darstellende Matrix von F := A bzgl.
> der Basis B
> (ii) Bestimmen sie den Kern und das Bild von F
> Hallo zusammen,
>
> Also zunächst mal gilt für (i) und (ii):
>
> [mm]b_{1}[/mm] := 1 , [mm]b_{2}[/mm] := x , [mm]b_{3}[/mm] := [mm]x^{2}[/mm] ,
> [mm]b_{4}[/mm] := [mm]x^{3}[/mm] , [mm]b_{5}[/mm] := [mm]x^{4}[/mm]
>
> zu (i)
>
> A = ( [mm]a_{ij})[/mm] = F( [mm]b_{j})[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{5} a_{ij} b_{i}[/mm]
>
> Also habe ich F( [mm] b_{1}) [/mm] bis F( [mm]b_{5})[/mm] errechnet, so dass
> ich schließlich folgendes LGS bekomme:
>
> I
> [mm]x^{4} a_{51}+ x^{3} a_{41}+ x^{2} a_{31} + x a_{21} + a_{11}=0[/mm]
der Ansatz ist richtig. Ich weiss nur nicht, wo jetzt genau dein Problem steckt.
Man sieht doch leicht, was sich für die Koeffizienten deiner Darstellungsmatrix ergibt:
I
[mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *0=0[/mm]
Das heisst in der ersten Spalte stehen lauter Nullen.
> II
> [mm]x^{4} a_{52}+ x^{3} a_{42}+ x^{2} a_{32} + x a_{22} + a_{12}=1[/mm]
[mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *1=1[/mm]
Also ist [mm] a_{12} [/mm] = 1 und der Rest der zweiten Spalte Null.
Den Rest kriegst du bestimmt selber hin.
zu (ii)
zum Kern: Die Polynome, die beim Ableiten Null ergeben, sind doch nur Konstanten.
zum Bild: Beim Ableiten eines Polynoms vom Grad [mm] \le [/mm] 4 wird doch der Grad um 1 kleiner.
Also sind das Bild alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3.
Gruß, Georg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 21.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo Georg,
> Man sieht doch leicht, was sich für die Koeffizienten
> deiner Darstellungsmatrix ergibt:
> I
> [mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *0=0[/mm]
> Das heisst in
> der ersten Spalte stehen lauter Nullen.
>
> > II
> > [mm]x^{4} a_{52}+ x^{3} a_{42}+ x^{2} a_{32} + x a_{22} + a_{12}=1[/mm]
>
> [mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *1=1[/mm]
> Also ist [mm]a_{12}[/mm] =
> 1 und der Rest der zweiten Spalte Null.
> Den Rest kriegst du bestimmt selber hin.
Wieso muss denn z.B. [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{51} [/mm] zwingend = 0 sein? Das gilt doch nicht in jedem Fall. Denn wenn z.B. x=0 ist, dann muss zwar [mm] a_{11} [/mm] auch = 0 sein, aber die restlichen Komponenten der 1.Zeile können auch ungleich 0 sein!? Oder hab ich hier einen blöden Denkfehler?
> zu (ii)
> zum Kern: Die Polynome, die beim Ableiten Null ergeben,
> sind doch nur Konstanten.
Dann müsste ja gelten: KerF = {z [mm] \in \IR [/mm] | z=a [mm] x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+dx [/mm] + e, [mm] x\in \IR [/mm] beliebig} = [mm] \IR [/mm]
> zum Bild: Beim Ableiten eines Polynoms vom Grad [mm]\le[/mm] 4 wird
> doch der Grad um 1 kleiner.
> Also sind das Bild alle Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
Also gilt: ImF = {a [mm] x^{3}+b x^{2}+cx [/mm] + d | x [mm] \in \IR [/mm] beliebig}
Aber könnte ich nicht auch durch meine "Formulierung" alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 ausdrücken? Also durch:
ImF = {4a [mm] x^{3}+3b x^{2}+2cx [/mm] + d | x [mm] \in \IR [/mm] beliebig}
Dann müsste a,b,c,d doch einfach nur entsprechend gewählt werden oder!?
> Gruß, Georg
Grüße zurück
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Do 22.12.2005 | | Autor: | Maceo |
> Hallo Georg,
>
> > Man sieht doch leicht, was sich für die Koeffizienten
> > deiner Darstellungsmatrix ergibt:
> > I
> > [mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *0=0[/mm]
> > Das heisst
> in
> > der ersten Spalte stehen lauter Nullen.
> >
> > > II
> > > [mm]x^{4} a_{52}+ x^{3} a_{42}+ x^{2} a_{32} + x a_{22} + a_{12}=1[/mm]
>
> >
> > [mm]x^{4} 0+ x^{3} 0+ x^{2} 0 + x 0 + 1 *1=1[/mm]
> > Also ist
> [mm]a_{12}[/mm] =
> > 1 und der Rest der zweiten Spalte Null.
> > Den Rest kriegst du bestimmt selber hin.
>
> Wieso muss denn z.B. [mm]a_{11}[/mm] bis [mm]a_{51}[/mm] zwingend = 0 sein?
> Das gilt doch nicht in jedem Fall. Denn wenn z.B. x=0 ist,
> dann muss zwar [mm]a_{11}[/mm] auch = 0 sein, aber die restlichen
> Komponenten der 1.Zeile können auch ungleich 0 sein!? Oder
> hab ich hier einen blöden Denkfehler?
Also, generell gehst du doch folgendermaßen vor, wenn du eine
Darstellungsmatrix zu zwei Basen berechnest: du nimmst die
Vektoren deiner ersten Basis und wendest die Abbildung darauf an
bzw. bestimmst in diesem Fall die Ableitung.
Das Ergebnis stellst du als Linearkombination mit Vektoren deiner
zweiten Basis (hier auch B) dar.
Dadurch werden die Koeffizienten eindeutig bestimmt (siehe VL).
Die anderen Elemente sind auf jeden Fall Vektoren der Basis
und die sind [mm] \not= [/mm] 0.
>
> > zu (ii)
> > zum Kern: Die Polynome, die beim Ableiten Null ergeben,
> > sind doch nur Konstanten.
>
> Dann müsste ja gelten:
> KerF = [mm]{ z \in \IR | z=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x + e, x \in \IR beliebig }[/mm]
> = [mm]\IR[/mm]
Zum einen ist z [mm] \in [/mm] V, außerdem ist die Ableitung davon doch nicht
zwingendermaßen 0, außer wenn a = b = c = d = 0 gilt. Die Polynome
welchen Grades wären das dann?
>
> > zum Bild: Beim Ableiten eines Polynoms vom Grad [mm]\le[/mm] 4 wird
> > doch der Grad um 1 kleiner.
> > Also sind das Bild alle Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
>
> Also gilt: ImF = [mm]{a x^{3}+b x^{2}+cx + d | x \in \IR beliebig}[/mm]
> Aber könnte ich nicht auch durch meine "Formulierung" alle
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3 ausdrücken? Also durch:
> ImF =[mm]{4a x^{3}+3b x^{2}+2cx + d | x \in \IR beliebig}[/mm]
> Dann müsste a,b,c,d doch einfach nur entsprechend gewählt
> werden oder!?
Klar, kannst du natürlich machen. Ich würde allerdings im Beweis
dann ein beliebiges Polynom q vom Grad [mm] \le [/mm] 4 wählen und zeigen,
dass sich wirklich dein Polynom [mm]p(x)= 4a x^{3}+3b x^{2}+2cx + d [/mm]
ergibt, also [mm]F(q)=q'=p[/mm] gilt.
Im Grunde ist das ja klar, aber aufschreiben muss man es, denke
ich, trotzdem. Noch Fragen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 22.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
> Dadurch werden die Koeffizienten eindeutig bestimmt (siehe
> VL).
> Die anderen Elemente sind auf jeden Fall Vektoren der
> Basis
> und die sind [mm]\not=[/mm] 0.
>
Alles klar, das ist mir jetzt soweit klar. Es geht also deshalb, weil es sich um Basisvektoren handelt und zu den Eigenschaften eines Basisvektors gehört, dass er ungleich 0 ist. Richtig?
> > > zu (ii)
zum Kern
> Zum einen ist z [mm]\in[/mm] V, außerdem ist die Ableitung davon
> doch nicht
> zwingendermaßen 0, außer wenn a = b = c = d = 0 gilt. Die
> Polynome
> welchen Grades wären das dann?
>
das heisst aber doch, dass z [mm] \in \IR [/mm] ist, weil hier ist doch [mm] \IR [/mm] = V
und da man doch anhand dieses Polynoms mit Ursprungswerten aus [mm] \IR [/mm] alle Elemente aus [mm] \IR [/mm] darstellen kann müssten doch diese entsprechende Konstanten sein, die den Kern definieren!? Also wie du siehst ist mir hier noch nicht alles klar. Würde es aber gerne verstehen. Weitere Anregungen?
> > > zum Bild: Beim Ableiten eines Polynoms vom Grad [mm]\le[/mm] 4 wird
> > > doch der Grad um 1 kleiner.
> > > Also sind das Bild alle Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> >
> > Also gilt: ImF = [mm]{a x^{3}+b x^{2}+cx + d | x \in \IR beliebig}[/mm]
>
> > Aber könnte ich nicht auch durch meine "Formulierung" alle
> > Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3 ausdrücken? Also durch:
> > ImF =[mm]{4a x^{3}+3b x^{2}+2cx + d | x \in \IR beliebig}[/mm]
>
> > Dann müsste a,b,c,d doch einfach nur entsprechend gewählt
> > werden oder!?
> Klar, kannst du natürlich machen. Ich würde allerdings im
> Beweis
> dann ein beliebiges Polynom q vom Grad [mm]\le[/mm] 4 wählen und
> zeigen,
> dass sich wirklich dein Polynom [mm]p(x)= 4a x^{3}+3b x^{2}+2cx + d[/mm]
>
> ergibt, also [mm]F(q)=q'=p[/mm] gilt.
> Im Grunde ist das ja klar, aber aufschreiben muss man es,
> denke
> ich, trotzdem.
Ja logisch. Habe es jetzt aber einfach anhand des Polynoms a [mm] x^{3} [/mm] +b [mm] x^{2}+c [/mm] x+ d gemacht und in einem Text begründet, was denke ich reichen müsste.
Hoffe du kannst mir noch mal weiterhelfen, so dass mir dann alles klar ist.
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 22.12.2005 | | Autor: | piet.t |
zweiter Versuch, nachdem der erste post abgeschmiert ist....
Hallo Patrick,
zum Problem mit dem Kern:
Es ist wichtig, genau zwischen dem Polynom und dem Wert des Polynoms beim Einsetzen eines bestimmten x zu unterscheiden.
In der Aufgabe werden die Polynome betrachtet, d.h. sämtliche leichheiten müssen für alle möglichen x-Werte gelten!
Die konstanten Polynome, von denen Georg spricht, sind dann solche Polynome, die (jedes Polynom für sich betrachtet!) immer den gleichen Wert annehmen, egal was man für x einsetzt. Wie sieht also ein solches Polynom aus und warum ist es im Kern von F?
Zusatzfrage: wie sieht denn eine mögliche Basis von Ker F aus? Und von Im F?
Gruß
Piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 22.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
> Die konstanten Polynome, von denen Georg spricht, sind
> dann solche Polynome, die (jedes Polynom für sich
> betrachtet!) immer den gleichen Wert annehmen, egal was man
> für x einsetzt. Wie sieht also ein solches Polynom aus und
> warum ist es im Kern von F?
Also meiner Meinung nach handelt es sich dabei um alle Polynome, die unabhängig von x oder irgendeiner anderen Variablen sind, d.h. um alle Polynome vom Grad 0.
Vorraussetzung dieser Aufgabe sind alle Polynome vom Grad kleiner, gleich 4, also gehrören alle Polynome vom Grad 0 auch dazu, d.h. dies sind die Elemente v der Urbildmenge für welche gilt F(v)=0.
Somit müsste der Kern von F aus all diesen Polynomen vom Grad 0 bestehen.
Aber wie drücke ich dies aus? Ich dachte mit meiner Beschreibung hätte ich dies ausgedrückt. Denn um Konstanten aus [mm] \IC [/mm] kann es sich doch nicht handeln, da die Urbildmenge [mm] \IR [/mm] ist!?
Deshalb dachte ich, dass KerF = { z | z ist beliebige Konstante aus [mm] \IR} [/mm] sein muss.
Also weitere Ideen hab ich jetzt wirklich nicht mehr. Wenns immer noch Falsch ist, wär es nett wenn mich jemand aufklären könnte.
> Zusatzfrage: wie sieht denn eine mögliche Basis von Ker F
> aus? Und von Im F?
Eine Basis von KerF müsste dann doch z.B. B := {1} sein, denn mit dem Basiselement 1 kann jedes andere z [mm] \in \IR [/mm] "erzeugt" werden!?
Eine Basis von ImF müsste doch C := {1, [mm] x^{1}, x^{2}, x^{3}} [/mm] sein, da durch Linearkombination dieser Basisvektoren alle Polynome vom Grad kleiner, gleich 3 erzeugt" werden können!?
> Gruß
>
> Piet
Gruß zurück, Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 22.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Alles klar. War zwar eine schwere Geburt, aber ist ja nochmal gut ausgegangen 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 23.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Patrick und alle anderen,
dein Kern stimmt immer noch nicht, denn ein Element aus V ist nicht etwa in [mm] $\IR$ [/mm] , sondern vielmehr in [mm] $\IR^5$ [/mm] (eigentlich nur isomorph dazu)
Ich denke ich muss hier mal was weiter ausholen um einen halbwegs komplettes Bild zu geben, also was eine Basis ist, sollte klar sein, oder?
Dann kann man das Polynom [mm] $a+b*x+c*x^2+d*x^3+ex^4$ [/mm] darstellen als Vektor [mm] $\vektor{a\\b\\c\\d\\e}$ [/mm] und zwar zu der Basis, wie im ersten Post angegeben.
So um die Koeffizientenmatrix zu bestimmen sollte man sich folgenden (bereits von Maceo erwähnten) Satz sehr gut einprägen:
"Sei [mm] $F:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung mit entspr. Basen [mm] B_V [/mm] und [mm] B_W [/mm] , dann sind die Bilder der Basisvektoren von [mm] B_V [/mm] in der Darstellung von [mm] B_W [/mm] die Spalten der Darstellungsmatrix [mm] $M_{B_W}^{B_V}$"
[/mm]
Für deinen Fall, weil V=W und wir die selbe Basis betrachten :
Die Bilder deiner Basisvektoren in der Darstellung dieser Vektoren sind die Spalten deiner Koeffizientenmatrix
Warum?
> Alles klar, das ist mir jetzt soweit klar. Es geht also deshalb, weil es sich > um Basisvektoren handelt und zu den Eigenschaften eines Basisvektors > gehört, dass er ungleich 0 ist. Richtig?
das ist zwar richtig, trifft die Sache hier aber nicht.
Eine Basis liefert eine Möglichkeit einen beliebigen Vektor als Linearkombinatiuon der Basisvektoren zu schreiben, also $F(v)=F( [mm] \summe_{i=1}^{n} k_i *b_i [/mm] )$
so und weil es sich um eine LINEARE Abbildung handelt, gilt :
$F(v)=F( [mm] \summe_{i=1}^{n} k_i *b_i )=\summe_{i=1}^{n} k_i *F(b_i [/mm] )$
Also, mit anderen Worten : es reicht die Bilder der Basisvektoren zu kennen um alle anderen Bilder als Linearkombination herleiten zu können.
Und genau dies geschieht bei der Matrixmultiplikation...
Beispiel für den letzten Basisvektor (also letzte Spalte der Koeffizientenmatrix) : [mm] $b_5 [/mm] = [mm] x^4$ [/mm] , das entspricht also : [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0\\1}$
[/mm]
[mm] x^4 [/mm] wird auf [mm] $4*x^3$ [/mm] abgebildet, also [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0\\1} \to \vektor{0\\0\\0\\4\\0}$
[/mm]
dieses Bild ist also unsere letzte Spalte der Koeffizientenmatrix.
Wenn man dies für alle Vektoren macht, dann kommt natürlich folgende Matrix raus :
[mm] $\pmat{0&1&0&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&4\\0&0&0&0&0}$
[/mm]
Beispiel : was wird aus dem Polynom [mm] $p(x)=18*x^2+22*x^4$ [/mm] ?
naja p ist ja repräsentiert durch : [mm] $\vektor{0\\0\\18\\0\\22}$
[/mm]
multipliziet man es mit der obigen Matrix erhält man :
[mm] $\vektor{0\\18*2\\0\\22*4\\0}$
[/mm]
und genau das passiert ja auch beim ableiten, denn [mm] x^2 [/mm] wird zu [mm] 2*x^1 [/mm] und [mm] x^4 [/mm] wird zu [mm] 4*x^3 [/mm]
(hier gehen die Bilder der Basisvektoren ein)
den Kern kann man schon an obiger Matrix ablesen:
denn [mm] $\vektor{t\\0\\0\\0\\0}$ [/mm] wird immer auf den Nullvektor abgebildet, aber dieser Vektor entspricht ja gerade den konstanten Polynomen : [mm] $t+0x+0x^2+0x^3+0x^4$
[/mm]
(hier bleibt übrigens noch zu zeigen, dass kein anderer Vektor auf den Nullvektor abgebildet wird, aber das ist ja einfach, oder?)
das heißt der Kern ist [mm] $\{ t*\vektor{1\\0\\0\\0\\0} \}$ [/mm] mit t beliebig aus [mm] $\IR$
[/mm]
Das Bild insbesondere die Basis des Bildes ist richtig angegeben, aber auch hier fehlt eine saubere Begründung !
Man muss zwei sachen zeigen :
1) Alle Bilder haben grad echt kleiner als 4
2) ALLE Polynome vom Grad kleiner als 3 werden als Bild angenommen
2) fehlt bisher völlig (oder ich habe es überlesen), da reicht auch kein netter Text oder so - man nimmt sich ein beliebiges Polynom dritten Grades und bestimmt ein entspr. Polynom (vierten Grades) , das als Bild eben das gewählte hat, dann ist man glücklich..
Ich hoffe mal, dies war nicht all zu verwirrend
viele Grüße+schöne Feiertage
DaMenge
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
...und die Basen passen natürlich ebenfalls!
