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| Aufgabe | Zz: [mm] e^{x} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] x * [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] (x [mm] \ge [/mm] 0)
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Ich muss ja das maximale Minimum bei dieser Aufgabe bestimmen und wenn dies größer gleich 0 ist stimmt die ungleichung.
ich habe es erstmal umgeformt:
[mm] e^{x} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] x * [mm] e^{\bruch{x}{2}} \gdw e^{x} [/mm] - 1 - x * [mm] e^{\bruch{x}{2}} \ge [/mm] 0
Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll. Bitte helft mir
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> Zz: [mm]e^{x}[/mm] - 1 [mm]\ge[/mm] x * [mm]e^{\bruch{x}{2}}[/mm] (x [mm]\ge[/mm] 0)
Hallo!
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> Ich muss ja das maximale Minimum
???
bei dieser Aufgabe
> bestimmen und wenn dies größer gleich 0 ist stimmt die
> ungleichung.
Aha. Du meinst wohl das absolute Minimum.
In welchem Zusammenhang taucht die Aufgabe denn auf?
Wirklich im Dunstkreis der Extremwertberechnung???
Ich würde sie völlig anders angehen, nämlich mit der Exponentialreihe.
Du kannst ja [mm] e^{x} [/mm] - 1 und x * [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] jeweils als Reihe schreiben.
Vergleich der Partialsummen und anschließende Bildung des Grenzwertes ergibt das Gewünschte.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also die Aufgabe steht genauso bei uns auf dem Zettel. Uns wurde,wie du schon richtig gesagt hast nur der Tipp mit dem absoluten Minimum gegeben.
Dein Lösungstipp verstehe ich nicht ganz, könntest du mir den wohl ein wenig näher erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 12.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-trottel!
Die e-Funktion an der Stelle $z_$ lässt sich als Reihe folgendermaßen darstellen:
[mm] $e^z [/mm] \ = \ [mm] \exp(z) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] 1+z+\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+...$
[/mm]
Und nun Angela's Tipp verwenden, indem Du hier einsetzt und vergleichst ...
Gruß
Loddar
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Wo soll ich das einsetzen?Ich verstehe das nicht so ganz, was ich da mit erreichen soll. :-(
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> Wo soll ich das einsetzen?Ich verstehe das nicht so ganz,
> was ich da mit erreichen soll. :-(
Hallo,
manchmal kommt das Verständnis beim Tun...
Wie Loddar Die bereits mitgeteilt hat, kannst Du [mm] e^z [/mm] schreiben als $ [mm] e^z [/mm] \ = \ [mm] \exp(z) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] 1+z+\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+... [/mm] $ .
Was Du wo einsetzen sollst?
Du weißt doch nun, was [mm] e^z [/mm] ist.
Das ist der Schritt zu [mm] e^x-1=??? [/mm] wirklich nicht so weit.
Und was ist mit Loddars Information x * $ [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] $ ?
x * $ [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] $ =???
Gruß v. Angela
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dann ist für [mm] \exp(x) [/mm] - 1 \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] -1 \ = \ [mm] 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+....-1
[/mm]
oder nicht?
aber für [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] weiß ich das nicht...bitte helft mir...morgen muss es abgegeben werden
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> dann ist
exp(x)[/mm] - 1
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] -1 = [mm] 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+....-1
[/mm]
>
> oder nicht?
Aber ja!
Und das ist [mm] =\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}
[/mm]
wegen der zu subtrahierenden 1.
> aber für [mm]e^{\bruch{x}{2}}[/mm] weiß ich das nicht...
Och! Du darfst nur nicht die Nerven verlieren: bei [mm] e^z [/mm] mußt Du nun an jeder Stelle, an der z steht, [mm] \bruch{x}{2} [/mm] einsetzen.
Gruß v. Angela
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exp(x) \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\bruch{x}{2}^k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{x}{2}+\bruch{\bruch{x}{2}^2}{2!}+\bruch{\bruch{x}{2}^3}{3!}+...
[/mm]
so ist das richtig oder? aber wie läuft das denn mit den grenzwerten? bitte hilf mir da schnell! muss noch ein paar andere aufgaben machen :-( bitte bitte
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Genau.
[mm] e^{\bruch{x}{2}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\bruch{x}{2})^k}{k!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^k}\bruch{x^k}{k!}
[/mm]
Nun mit x multiplizieren und dann zwecks besserer Vergleichbarkeit mit [mm] e^x-1 [/mm] den Index so verschieben, daß er auch ab 1 läuft und nicht ab Null.
Gruß v. Angela
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Oh man, das verstehe ich nicht. was soll mir das denn bringen?Ich blick da so langsam nicht mehr durch und bin am verzweifeln :-(
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> Oh man, das verstehe ich nicht. was soll mir das denn
> bringen?Ich blick da so langsam nicht mehr durch und bin am
> verzweifeln :-(
Du willst zwei Funktionen vergleichen, welche Du als Reihen schreiben kannst.
Na, und da die eine Funktion [mm] x*e^{\bruch{x}{2}} [/mm] ist, ist es doch recht naheliegend, die Reihe für [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] noch mit x zu multiplizieren, oder?
Den Grund der Indexverschiebung habe ich Dir bereits genannt,
und den Gesamtplan habe ich auch schon im ersten Post zu diesem Thema entfaltet:
Betrachtest Du die Partialsummen der zu vergleichenden Reihen, so stellst du fest, daß die Partialsummen der einen Reihe stets kleiner sind als die der zweiten.
Folglich ist der Grenzwert der einen [mm] \le [/mm] dem der anderen.
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} \ge \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k+1}}{{2^k}k!}
[/mm]
Aber wo sehe ich nun ob das stimmt oder nicht? kannst du mir das nicht eben schnell zeigen?bitte bitte muss das gleich abgeben
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} \ge \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k+1}}{{2^k}k!}[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{k}}{{2^{k-1}}(k-1)!}
[/mm]
> Aber wo sehe ich nun ob das stimmt oder nicht?
Das siehst Du noch nicht beweiskräftig. Jetzt sind die Partialsummen zu vergleichen, also herauszufinden, ob
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{x^k}{k!} \ge \summe_{k=1}^{n}\bruch{x^{k}}{{2^{k-1}}(k-1)!}
[/mm]
ist.
Der entsprechende Satz über die Grenzwerte ergibt das Ergebnis.
> kannst du mir das nicht eben schnell zeigen?bitte bitte muss das
> gleich abgeben
Ich habe Dir das Handwerkszeug geliefert.
Gruß v. Angela
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