Monotonie einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie das Monotonieverhalten bei folgender Funktion:
f(x)= x * e hoch( -2x²). |
ich habe mir die funktion mal auf dem gtr anzeigen lassen. und da 3 intervalle herausbekommen (über MIN und MAX).
Also: 1. Intervall: [mm] (-\infty; [/mm] -1) // 2. Intervall (-1 ; 1 ) wobei ich hier ein abgeschlossenes Intervall habe. und als 3. Intervall (1 ; [mm] \infty)
[/mm]
So, auf dem 1. + 3. Intervall ist die Funktion monoton fallend und auf dem 2. Intervall monoton steigend.
Jetzt wollte ich 3 kleine Nachweise durchführen und habe als Ansatz für das 1. und 3. Intervall diesen genommen:
Wenn f(x) auf I 1 [mm] (-\infty; [/mm] -1) monoton fallend ist, dann gillt für Alle [mm] x\varepsilon\IR [/mm] aus diesem Intervall: x1 < x2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x1) > f(x2).
so, und wie zeige ich das jetzt nun???
bitte erklärt mir das mal an diesem intervall!
vielen dank...
gruß
snoopy
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> Untersuchen Sie das Monotonieverhalten bei folgender
> Funktion:
> f(x)= x * [mm] e^{ -2x²}.
[/mm]
> ich habe mir die funktion mal auf dem gtr anzeigen lassen.
> und da 3 intervalle herausbekommen (über MIN und MAX).
> Also: 1. Intervall: [mm](-\infty;[/mm] -1) // 2. Intervall (-1 ; 1
> ) wobei ich hier ein abgeschlossenes Intervall habe. und
> als 3. Intervall (1 ; [mm]\infty)[/mm]
Hallo,
ich fürchte, Dein GTR ist kaputt - ode Du hast ihn falsch bedient...
Du hast es hier ja mit einer differenzierbaren Funktion zu tun, die erste Ableitung erzählt Dir etwas über die Steigung der Funktion, also auch über die Monotonie:
überall, wo die 1. Ableitung >0 ist, ist die Funktion streng monoton wachsend, wo sie <0 ist, streng monoton fallend.
Damit steht der Plan: differenzieren, also erstmal f'(x) berechnen (das ist wieder eine stetig Funktion), dann die Nullstellen der Ableitung berechnen.
Anschließend guckst Du, ob f' zwischen den Nullstellen positiv oder negativ ist.
Gruß v. Angela
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> So, auf dem 1. + 3. Intervall ist die Funktion monoton
> fallend und auf dem 2. Intervall monoton steigend.
>
> Jetzt wollte ich 3 kleine Nachweise durchführen und habe
> als Ansatz für das 1. und 3. Intervall diesen genommen:
>
> Wenn f(x) auf I 1 [mm](-\infty;[/mm] -1) monoton fallend ist, dann
> gillt für Alle [mm]x\varepsilon\IR[/mm] aus diesem Intervall: x1 <
> x2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) > f(x2).
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> so, und wie zeige ich das jetzt nun???
> bitte erklärt mir das mal an diesem intervall!
>
> vielen dank...
> gruß
> snoopy
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ich habe die ja schon differenziert...habe ein min und ein max herausbekommen. (hatte ich nur nicht so geschrieben  )
also wie gehts nun weiter?
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> ich habe die ja schon differenziert...habe ein min und ein
> max herausbekommen.
Aber die falschen.
(hatte ich nur nicht so geschrieben
> )
> also wie gehts nun weiter?
Das habe ich eigentlich doch schon gesagt...
Wie lautet denn Deine Ableitung? Wo hat sie ihre Nullstellen?
Du brauchst nun in den drei Intervallen eigentlich nur jeweils einen Punkt anzuschauen und zu gucken, ob f' da pos. oder negativ ist.
Ist f' positiv, ist die Funktion f in diesem Intervall steigend, ist f' negativ, ist sie fallend.
Gruß v. Angela
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meine erste ableitung:
e hoch (-2x²) * (1 - 4x²)
also setze ich jetzt hier zum beispiel die -1 für x ein???
von dieser regel habe ich noch nix gehört! wir müssen das eigentlich immer so machen, wie ich es vorhin geschrieben hatte...
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> meine erste ableitung:
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> e hoch (-2x²) * (1 - 4x²)
Wo hat die denn ihre Nullstellen? Egal, welchen Weg Du gehst, die korrekten Nullstellen werden benötigt.
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> also setze ich jetzt hier zum beispiel die -1 für x ein???
> von dieser regel habe ich noch nix gehört!
Das funktioniert, weil [mm] f'(x)=e^{-2x²} [/mm] * (1 - 4x²) stetig ist. Stichwort: Zwischenwertsatz.
Du kannst aber auch die Lösungen von [mm] e^{-2x²} [/mm] * (1 - 4x²)>0 (steigend) bzw. [mm] e^{-2x²} [/mm] * (1 - 4x²)<0 (fallend) bestimmen.
> wir müssen das
> eigentlich immer so machen, wie ich es vorhin geschrieben
> hatte...
Wenn Du die Minima und Maxima bestimmt hast (wo ist denn was?), muß es doch so sein, daß man links vom Maximum Steigung hat, rechts Gefälle und beim Minimum umgekehrt.
Wenn also zuerst das Minimum kommt, hast Du links vom Minimum Gefälle, zwischen Min und Max Anstieg, rechts vom Max. Gefälle. (Denk' an eine Wanderung über Täler und Höhen.)
Da braucht man dann nichts mehr zu rechnen.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
erstmal vielen dank für deine ratschläge.
also die nullstelle ist bei x=0 und Min (-0,5) und Max(0,5) y-Koordinate habe ich noch nicht.
leider müssen wir das immer so "beweisen" mit: wenn f(x) auf...monoton fallend...dann gilt...x1<x2 und so weiter...
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> leider müssen wir das immer so "beweisen" mit: wenn f(x)
> auf...monoton fallend...dann gilt...x1<x2 und so weiter...
Hallo,
ist denn das Differenzieren noch nicht eingeführt in der Vorlesung?
Wenn es nämlich drangewesen wäre und man es nicht verwenden würde, wäre das ja ziemlich nicht so clever.
Daß, solange das Differenzieren noch nicht dran war oder man es mit nicht diffbaren Funktionen zu tun hat, die Sache "zu Fuß" erledigt werden muß, ist klar.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 20.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Form dien x1<x2 folgt f(x1)>f(x2) um in 0<x2-x1 folgt f(x2)-f(x1)<0 und daraus f
[mm] \bruch{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}<0 [/mm] dann benutz den Mittelwertsatz und die Ableitung.
Gruss leduart
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gut, und was setzte ich für x1 und x2 ein? beliebige zahlen? oder muss man das dann algemein machen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snoopy!
Das musst Du dann schon (für die entsprechenden Intervalle) mit allgemeinen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] lösen.
Gruß
Loddar
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