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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 29.05.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
[mm] $||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2, \forall u,v\in V^3$ [/mm] |
Hallo,
sei [mm] u=\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}} [/mm] und [mm] v=\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}.
[/mm]
[mm] $||u+v||^2+||u-v||^2=||\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}+\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}||^2 [/mm] + [mm] ||\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}-\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}||^2$
[/mm]
[mm] $=\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}^2+2\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}^2+(\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}^2-2\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}^2)$
[/mm]
[mm] $=2\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}^2+2\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}^2=2||u||^2+2||v||^2$
[/mm]
Ist die Vorgehensweise korrekt oder habe ich es falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 29.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ansätze sind ok, aber die Binomische Formel darfst du nicht einfach auf Vektoren loslassen:
[mm] ||u+v||^2+||u-v||^2 [/mm]
[mm] =||\vektor{u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}}+\vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}||^2 + ||\vektor{u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}}-\vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}||^2 [/mm]
[mm] =||\vektor{u_{1}+v_{1}\\
u_{2}+v_{2}\\
u_{3}+v_{3}}||^2 + ||\vektor{u_{1}-v_{1}\\
u_{2}-v_{2}\\
u_{3}-v-{3}}||^2 [/mm]
[mm] =\left(\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}}\right)^{2} [/mm]
Den Rest schaffst du jetzt sicherlich wieder selber.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 29.05.2011 | | Autor: | Trolli |
> Hallo
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> Die Ansätze sind ok, aber die Binomische Formel darfst du
> nicht einfach auf Vektoren loslassen:
>
> [mm]||u+v||^2+||u-v||^2[/mm]
> [mm]=||\vektor{u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}}+\vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}||^2 + ||\vektor{u_{1}\\
u_{2}\\
u_{3}}-\vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}||^2[/mm]
>
> [mm]=||\vektor{u_{1}+v_{1}\\
u_{2}+v_{2}\\
u_{3}+v_{3}}||^2 + ||\vektor{u_{1}-v_{1}\\
u_{2}-v_{2}\\
u_{3}-v-{3}}||^2[/mm]
>
> [mm]=\left(\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}}\right)^{2}[/mm]
>
[mm] $=\left(\wurzel{(u^2_1+2u_1v_1+v^2_1)+(u^2_2+2u_2v_2+v^2_2)+(u^2_3+2u_3v_3+v^2_3)}\right)^2+\left(\wurzel{(u^2_1-2u_1v_1+v^2_1)+(u^2_2-2u_2v_2+v^2_2)+(u^2_3-2u_3v_3+v^2_3)}\right)^2$ [/mm]
Darf ich hier die beiden Wurzeln zusammenfassen?
[mm] $=\left(\wurzel{(2u^2_1+2v^2_1)+(2u^2_2+2v^2_2)+(2u^2_3+2v^2_3)}\right)^2 [/mm] = [mm] \left(\wurzel{(2u^2_1+2u^2_2+2u^2_3)+(2v^2_1+2v^2_2+2v^2_3)}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\wurzel{2(u^2_1+u^2_2+u^2_3)+2(v^2_1+v^2_2+v^2_3)}\right)^2 [/mm] $
Hier will ich ja zum Schluss hinkommen, aber bin mir grad nicht sicher ob ich das überhaupt so umformen darf. *schäm*
[mm] $2\left(\wurzel{u^2_1+u^2_2+u^2_3}\right)^2+2\left(\wurzel{v^2_1+v^2_2+v^2_3}\right)^2$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 29.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Wurzeln werden doch praktischerweise gerade durch das Quadrat entfernt.
[mm] \left(\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}}\right)^{2} [/mm]
[mm] =(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2} [/mm]
[mm] =u_{1}^{2}+2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}+2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}+u_{1}^{2}-2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}[/mm]
Jetzt bist du wieder dran 
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 29.05.2011 | | Autor: | Trolli |
> [mm]\left(\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}}\right)^{2}[/mm]
> [mm]=(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}[/mm]
> [mm]=u_{1}^{2}+2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}+2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}+u_{1}^{2}-2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}[/mm]
>
>
[mm] $=2u^2_1+2u^2_2+2u^2_3+2v^2_1+2v^2_2+2v^2_3 [/mm] $
[mm] $=2(u^2_1+u^2_2+u^2_3)+2(v^2_1+v^2_2+v^2_3)$
[/mm]
[mm] $=2\left(\wurzel{(u^2_1+u^2_2+u^2_3)}\right)^2+2\left(\wurzel{(v^2_1+v^2_2+v^2_3)}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=2||u||^2+2||v||^2$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 29.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
> >
> [mm]\left(\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}}\right)^{2}[/mm]
> >
> [mm]=(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}[/mm]
> >
> [mm]=u_{1}^{2}+2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}+2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}+u_{1}^{2}-2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2}[/mm]
> >
> >
>
>
> [mm]=2u^2_1+2u^2_2+2u^2_3+2v^2_1+2v^2_2+2v^2_3[/mm]
> [mm]=2(u^2_1+u^2_2+u^2_3)+2(v^2_1+v^2_2+v^2_3)[/mm]
>
> [mm]=2\left(\wurzel{(u^2_1+u^2_2+u^2_3)}\right)^2+2\left(\wurzel{(v^2_1+v^2_2+v^2_3)}\right)^2[/mm]
> [mm]=2||u||^2+2||v||^2[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 29.05.2011 | | Autor: | Trolli |
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn man beherzigt, wie die Norm mit dem Skalarprodukt zusammenhängt gehts schneller:
[mm] $||u+v||^2+||u-v||^2= [/mm] <u+v,u+v>+<u-v,u-v>= <u,u>+2<u,v>+<v,v>+<u,u>-2<u,v>+<v,v>= $
[mm] $2+2=2||u||^2+2||v||^2$
[/mm]
FRED
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