Nullstellenberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mi 14.05.2008 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
y=f(x)=2x³-7x
Führen Sie für f(x) eine Kurvendiskussion durch.
(Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der Nullstellenberechnung folgender Aufgabe:
y=f(x)=3x³-7x
Mein bisheriger Lösungsweg war:
0=f(x)=3x³-7x
..daraus die erste Ableitung..
0=f'(x)=6x²-7
.. ab hier stehe ich auf den Schlauch.
Die Normalform einer Quadratischen Funktion lautet doch y=f(x)=x²+px+q .
x²= 6x²
q= -7
Welchen Wert setze ich für px?
Kann ich überhaupt die pq-Formel anwenden?
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte.
mfg Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben sei die Funktion:
>
> y=f(x)=2x³-7x
>
> Führen Sie für f(x) eine Kurvendiskussion durch.
> (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art
> der Extrema)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo!
>
> Ich habe ein Problem mit der Nullstellenberechnung
> folgender Aufgabe:
>
> y=f(x)=3x³-7x
>
> Mein bisheriger Lösungsweg war:
>
> 0=f(x)=3x³-7x
>
> ..daraus die erste Ableitung..
Wozu ableiten? Du willst doch die Nullstellen bestimmen. Ableiten brauchst du dann später für die Extrema.
Du hast schon richtig angefangen [mm] 0=3x^3-7x. [/mm] Jetzt kannst du x ausklammern [mm] 0=3x^3-7x=x(3x^2-7). [/mm] Ein Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Die beiden Faktoren sind x und [mm] 3x^2-7. [/mm] Wann x Null wird ist klar, nämlich bei Null ^^ Um auszurechnen wann [mm] 3x^2-7 [/mm] Null wird musst du die pq-Formel anwenden. Du hast [mm] 3x^2-7=0, [/mm] jetzt beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen, denn du willst ja die Normalform haben und dazu muss [mm] x^2 [/mm] da stehen und nicht [mm] 3x^2.
[/mm]
>
> 0=f'(x)=6x²-7
>
Ausserdem hast du falsch abgeleitet. Es muss [mm] 9x^2-7 [/mm] heissen.
> .. ab hier stehe ich auf den Schlauch.
> Die Normalform einer Quadratischen Funktion lautet doch
> y=f(x)=x²+px+q .
> x²= 6x²
> q= -7
> Welchen Wert setze ich für px?
> Kann ich überhaupt die pq-Formel anwenden?
>
> Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand einen kleinen
> Tipp geben könnte.
>
> mfg Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Alternativ zur p-q-Formel kannst du hier auch direkt die Wurzel ziehen, du hast ja keinen Term mit [mm] x^{1}
[/mm]
Also:
[mm] 0=2x^{3}-7x [/mm]
[mm] \gdw 0=x(2x^{2}-7)
[/mm]
[mm] \Rightarrow0=x
[/mm]
oder [mm] 2x^{2}-7=0
[/mm]
[mm] \gdw x²=\bruch{7}{2}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{\bruch{7}{2}}
[/mm]
Für die Extremstellen:
f'(x)=6x²-7 (ist übrigens korrekt)
Also
[mm] 0=6x^{2}-7
[/mm]
[mm] \gdw x²=\bruch{7}{6}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{\bruch{7}{6}}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> f'(x)=6x²-7 (ist übrigens korrekt)
In der Aufgabenstellung oben steht [mm] f(x)=2x^3-7x [/mm] aber er hat dann nur noch [mm] f(x)=3x^3-7x [/mm] geschrieben.
Ich dachte er hätte auch das letztere abgeleitet, was dann falsch wäre.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
> > f'(x)=6x²-7 (ist übrigens korrekt)
>
> In der Aufgabenstellung oben steht [mm]f(x)=2x^3-7x[/mm] aber er hat
> dann nur noch [mm]f(x)=3x^3-7x[/mm] geschrieben.
> Ich dachte er hätte auch das letztere abgeleitet, was dann
> falsch wäre.
Oops, da hast du natürlich recht. Aber das war dann wohl eher ein Schreibfehler.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 15.05.2008 | | Autor: | matze3 |
Hallo Zusammen! Vielen Dank für die Hilfe.
Habe nochmal den Lösungsweg zusammengefasst.
Nullstellen:
Y=f(x)=2x³-7x
0=f(x)=2x³-7x
[mm]\gdw [/mm]2x²-7
[mm]\gdw [/mm][mm] x²=\bruch{7}{2}
[/mm]
[mm]\gdw [/mm][mm] x=\wurzel\bruch{7}{2}
[/mm]
[mm]\gdw [/mm]x=[mm]\pm[/mm]1,87
lokale Extrempunkte:
Y=f(x)=2x³-7x
f'(x)=6x²-7
[mm]\gdw [/mm][mm] x²=\bruch{7}{6}
[/mm]
[mm]\gdw [/mm][mm] x=\wurzel\left( \bruch{7}{6} \right)
[/mm]
[mm]\gdw [/mm]x=[mm]\pm[/mm]1,08
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Do 15.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Zusammen! Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Habe nochmal den Lösungsweg zusammengefasst.
>
>
> Nullstellen:
>
> Y=f(x)=2x³-7x
> 0=f(x)=2x³-7x
> [mm]\gdw [/mm]2x²-7
> [mm]\gdw[/mm][mm] x²=\bruch{7}{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm][mm] x=\wurzel\bruch{7}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw [/mm]x=[mm]\pm[/mm]1,87
>
Vergiss x=0 nicht!
Ausserdem solltest du schreiben [mm] x²=\bruch{7}{2} \gdw [/mm] | x | [mm] =\wurzel\bruch{7}{2} \gdw x=\pm\wurzel\bruch{7}{2}.
[/mm]
>
> lokale Extrempunkte:
>
>
> Y=f(x)=2x³-7x
> f'(x)=6x²-7
> [mm]\gdw[/mm][mm] x²=\bruch{7}{6}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]| x | [mm]= \wurzel\left( \bruch{7}{6} \right)[/mm]
>
> [mm]\gdw [/mm]x=[mm]\pm[/mm]1,08
>
>
Hab die fehlenden Betragsstiche wieder rot reingemalt.
Ausserdem musst du jetzt nochmal ableiten und die (möglichen) Extremstellen einsetzen, um sicherzustellen, dass es wirklich welche sind und um die Art rauszukriegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Do 04.09.2008 | | Autor: | matze3 |
Guten Morgen!
Die Aufgabe ist zwar schon etwas alt aber ich habe zu dieser noch eine Frage.
Gesucht ist: Art der Extrema
Vielleicht kann mir der ein oder andere einen Hinweis geben.
Vielen Dank im Vorraus.
Matze
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Hey dazu setze einfach die kritischen Punkte (also die Nullstellen der 1. Abl.) in die zweite Ableitung ein.
Gilt [mm] f''(x_0)>0 [/mm] dann liegt bei [mm] x_0 [/mm] ein Minimum vor.
Gilt [mm] f''(x_0)<0 [/mm] dann liegt bei [mm] x_0 [/mm] ein Maximum vor.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 04.09.2008 | | Autor: | matze3 |
.. meine Lösung:
[mm] f''(x_0)=12x
[/mm]
[mm] f''(x_0)=12\*1,08=12,96>0\Rightarrow [/mm] Minimum bei 1,08
[mm] f''(x_0)=12\*(-1,08)=-12,96<0\Rightarrow [/mm] Maximum bei -1,08
Ist meine Schreibweise korrekt?
mfG Matze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Do 04.09.2008 | | Autor: | MiMa90 |
Jop! Nun musste du nur noch die Y-Werte für die 2 Extremstellen berechnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 04.09.2008 | | Autor: | matze3 |
.. wie gehe ich da vor? Habe keinen Ansatz.
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Hallo, du hast ja deine Stellen für Extremstellen
[mm] x_1=\wurzel{\bruch{7}{6}}\approx1,08 [/mm] und
[mm] x_2=-\wurzel{\bruch{7}{6}}\approx1,08
[/mm]
berechne jetzt [mm] f(\wurzel{\bruch{7}{6}}) [/mm] und [mm] f(-\wurzel{\bruch{7}{6}}), [/mm] also in die Funktionsgleichung einsetzen
[mm] f(\wurzel{\bruch{7}{6}})=2*(\wurzel{\bruch{7}{6}})^{3}-7*\wurzel{\bruch{7}{6}}
[/mm]
somit hast du die entsprechenden Punkte
Steffi
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> .. meine Lösung:
>
besser wäre:
> [mm]f''(\red{x})=12x[/mm]
> [mm]f''(\red{\wurzel{\bruch{7}{6}}})\approx12\*1,08=12,96>0\Rightarrow[/mm] Minimum bei 1,08
> [mm]f''(\red{-\wurzel{\bruch{7}{6}}})\approx12\*(-1,08)=-12,96<0\Rightarrow[/mm] Maximum bei
> -1,08
>
> Ist meine Schreibweise korrekt?
>
> mfG Matze
Gruß Patrick
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