Offene Überdeckung - kompakt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Di 22.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo,
Ich versuche gerade die Begriffe Offene Überdeckung/ Teilüberdeckung zu verstehen und warum dann daraus (quasi)kompaktheit folgt.
Dazu hab ich mir ein ganz einfaches Beispiel ausgedacht:
Der topologische Raum sei einfach [mm] \IR. [/mm]
M1 = [1,2] und M2 = (1,2)
Dann wähl ich eine Familie von offenen Mengen also U1 = (0,3) und U2 = (1,4).
Dann habe ich doch schon mal eine offene Überdeckung von M1 und M2, weil M1, M2 [mm] \subset [/mm] U mit U = U1 [mm] \cup [/mm] U2.
Soweit ist mir einigermaßen klar. Wenn ich jetzt aber prüfen will, ob meine Mengen quasikompakt sind, brauche ich eine endliche Teilüberdeckung für jede offene Überdeckung. So, und genau das versteh ich nicht mehr, kann mir irgendjemand mein beispiel weiterführen, denn die Definition hilft mir dabei leider garnicht weiter...
Vielen Dank
Cruemel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 22.08.2006 | | Autor: | mikerb |
Deine Überdeckung ist doch schon endlich (es sind zwei Mengen), also gibt es eine endliche Teilüberdeckung, nämlich die ganze Überdeckung.
Der Witz an der Komapktheit ist: Egal, wie Du eine kompakte Menge durch offenen Teilmengen überdeckst, Du kannst immer alle Mengen bis auf endlich viele rauswerfen. Oder anders gesagt: Wenn Du mir irgendeine offene Überdeckung einer kompakten Menge vorlegst, kann ich immer endlich viele raussuchen, die auch schon überdecken.
Beispiel: Bleiben wir beim Intervall [1,2] und geben wir uns zu jedem 1<=a<=2 das Interval [mm] (a-\varepsilon,a+\varepsilon). [/mm] Mach Dir klar, dass dies eine offene Überdeckung des Intervalls ist, dass Du aber nur endlich viele Intervalle brauchst. (wenn das nicht klar ist, dann mal es Dir mal für [mm] \varepsilon=0.1 [/mm] auf) Dies beweist aber keineswegs, dass [1,2] kompakt ist, denn Kompaktheit ist ja eine Aussage ueber jede Ueberdeckung und wir haben nur eine betrachtet.
Wenn Du (1,2) betrachtest, dann klappt das so nicht mehr. Betrachte die Ueberdeckung [mm] (1.5-\varepsilon,1.5+\varepsilon) [/mm] mit [mm] \varepsilon\in[0,0.5)
[/mm]
Das ist eine offene Ueberdeckung des (offenen!) intervalls, aber hier kommt man nicht mit endlich vielen Mengen aus, man braucht in der Tat alle.
Ich hoffe, das traegt zum Verstaendnis bei...Kompaktheit nachzuweisen ist nicht so leicht, im [mm] \IR^n [/mm] weiss man aber, dass komapkt das gleiche ist wie abgeschlossen und beschraenkt. Das reicht meistens auch schon.
Du kannst Dir als Uebung ueberlegen, warum jede unbeschraenkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] nicht kompakt sein kann, indem Du dir eine Ueberdeckung baust, die man nicht auf endlich viele verkleinern kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 23.08.2006 | | Autor: | cruemel |
> Deine Überdeckung ist doch schon endlich (es sind zwei
> Mengen), also gibt es eine endliche Teilüberdeckung,
> nämlich die ganze Überdeckung.
ja, aber dann hätte ich doch damit bewiesen, dass das offene Intervall kompakt ist.... (Ich weiß dass das falsch ist)
Ist das falsch, weil es nur eine bestimmte offene Überdeckung ist?
> Der Witz an der Komapktheit ist: Egal, wie Du eine kompakte
> Menge durch offenen Teilmengen überdeckst, Du kannst immer
> alle Mengen bis auf endlich viele rauswerfen. Oder anders
> gesagt: Wenn Du mir irgendeine offene Überdeckung einer
> kompakten Menge vorlegst, kann ich immer endlich viele
> raussuchen, die auch schon überdecken.
>
> Beispiel: Bleiben wir beim Intervall [1,2] und geben wir
> uns zu jedem 1<=a<=2 das Interval
> [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon).[/mm] Mach Dir klar, dass dies
> eine offene Überdeckung des Intervalls ist, dass Du aber
> nur endlich viele Intervalle brauchst. (wenn das nicht klar
> ist, dann mal es Dir mal für [mm]\varepsilon=0.1[/mm] auf) Dies
> beweist aber keineswegs, dass [1,2] kompakt ist, denn
> Kompaktheit ist ja eine Aussage ueber jede Ueberdeckung und
> wir haben nur eine betrachtet.
ja, das hab ich verstanden 
> Wenn Du (1,2) betrachtest, dann klappt das so nicht mehr.
> Betrachte die Ueberdeckung
> [mm](1.5-\varepsilon,1.5+\varepsilon)[/mm] mit
> [mm]\varepsilon\in[0,0.5)[/mm]
> Das ist eine offene Ueberdeckung des (offenen!)
> intervalls, aber hier kommt man nicht mit endlich vielen
> Mengen aus, man braucht in der Tat alle.
Nun setze ich aber [mm]\varepsilon\in[0,0.5][/mm]. Dann hätte ich doch eine endliche Überdeckung für die offene Überdeckung [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon).[/mm] ????
> Ich hoffe, das traegt zum Verstaendnis bei...Kompaktheit
> nachzuweisen ist nicht so leicht, im [mm]\IR^n[/mm] weiss man aber,
> dass komapkt das gleiche ist wie abgeschlossen und
> beschraenkt. Das reicht meistens auch schon.
Ja, aber vielleicht nicht in der Zwischenprüfung.....
> Du kannst Dir als Uebung ueberlegen, warum jede
> unbeschraenkte Teilmenge von [mm]\IR[/mm] nicht kompakt sein kann,
> indem Du dir eine Ueberdeckung baust, die man nicht auf
> endlich viele verkleinern kann.
Naja, wenns ins Unendliche geht (da unbeschränkt) ist mir das auch völlig klar....
Irgendwie hab ich da total Probleme mit diesem Begriff der endlichen Teilüberdeckung :-(
Aber vielen Dank erstmal, ein bisschen klarer ist es schon geworden
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 23.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Deine Überdeckung ist doch schon endlich (es sind zwei
> > Mengen), also gibt es eine endliche Teilüberdeckung,
> > nämlich die ganze Überdeckung.
>
> ja, aber dann hätte ich doch damit bewiesen, dass das
> offene Intervall kompakt ist.... (Ich weiß dass das falsch
> ist)
> Ist das falsch, weil es nur eine bestimmte offene
> Überdeckung ist?
Genau. Und du muesstest alle betrachten, und bei dem offenen Intervall gibt es eine Ueberdeckung, die keine endliche Teilueberdeckung hat.
> > Wenn Du (1,2) betrachtest, dann klappt das so nicht mehr.
> > Betrachte die Ueberdeckung
> > [mm](1.5-\varepsilon,1.5+\varepsilon)[/mm] mit
> > [mm]\varepsilon\in[0,0.5)[/mm]
> > Das ist eine offene Ueberdeckung des (offenen!)
> > intervalls, aber hier kommt man nicht mit endlich vielen
> > Mengen aus, man braucht in der Tat alle.
Das stimmt nicht ganz, man braucht nicht alle. Aber abzaehlbar unendlich viele braucht man schon mindestens.
> Nun setze ich aber [mm]\varepsilon\in[0,0.5][/mm]. Dann hätte ich
Was willst du mit ``setzt [mm] $\varepsilon \in [/mm] [0, 0.5]$'' sagen? Diese Aussage macht mathematisch keinen Sinn.
> doch eine endliche Überdeckung für die offene Überdeckung
> [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon).[/mm] ????
mikerb hat gesagt, dass du die Familie von Mengen [mm] $\{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \mid \varepsilon \in [0, 0.5) \}$ [/mm] nehmen kannst: Das ist eine offene Ueberdeckung. Und sobald du eine endliche Teilmenge nimmst, etwa [mm] $\{ (a - \varepsilon_1, a + \varepsilon_1), \dots, (a - \varepsilon_n, a + \varepsilon_n) \}$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n \in [/mm] [0, 0.5)$, dann gibt es immer einen Punkt aus $(1, 2)$, der in keiner dieser Mengen $(a - [mm] \varepsilon_1, [/mm] a + [mm] \varepsilon_1), \dots, [/mm] (a - [mm] \varepsilon_n, [/mm] a + [mm] \varepsilon_n)$ [/mm] liegt. Deswegen gibt es von dieser von mikerb angegebenen Ueberdeckung keine endliche Teilueberdeckung von $(1, 2)$!
> > Ich hoffe, das traegt zum Verstaendnis bei...Kompaktheit
> > nachzuweisen ist nicht so leicht, im [mm]\IR^n[/mm] weiss man aber,
> > dass komapkt das gleiche ist wie abgeschlossen und
> > beschraenkt. Das reicht meistens auch schon.
>
> Ja, aber vielleicht nicht in der Zwischenprüfung.....
Hast du dir mal den Beweis vom Satz von Heine-Borel angeschaut? Denk doch mal drueber nach, wo was schiefgehen koennte, wenn die Menge nicht abgeschlossen oder nicht beschraenkt ist. Und wieso, wenn sie beschraenkt und abgeschlossen ist, man eine endliche Teilueberdeckung finden kann.
> > Du kannst Dir als Uebung ueberlegen, warum jede
> > unbeschraenkte Teilmenge von [mm]\IR[/mm] nicht kompakt sein kann,
> > indem Du dir eine Ueberdeckung baust, die man nicht auf
> > endlich viele verkleinern kann.
>
> Naja, wenns ins Unendliche geht (da unbeschränkt) ist mir
> das auch völlig klar....
Gib doch mal konkret fuer eine belieibge unbeschraenkte Menge $M$ eine offene Ueberdeckung an, zu der es keine endliche Teilueberdeckung gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 23.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Felix,
Ich glaub jetzt hab ich es verstanden! Da die Teilüberdeckung ja für beliebige Überdeckung gelten muss, muss es natürlich auch für die, ich sag jetzt mal kleineste offene Überdeckung, also das offene Interval selbst eine endliche Teilüberdeckung geben. Wenn ich jetzt wieder mal das Intervall [mm] $(1.5-\varepsilon,1.5+\varepsilon) [/mm] $ nehme mit [mm] $\varepsilon \in [/mm] [0,0,5)$ habe ich so eine kleinste offene Überdeckung, die ich aber nicht mit einer endlichen Teilüberdeckung bekommen kann (Wurde ja schon vorher diskutiert)! Stimmt jetzt mein gedankengang?
>Gib doch mal konkret fuer eine belieibge unbeschraenkte Menge $ M $ eine offene Ueberdeckung an, zu der es keine endliche Teilueberdeckung gibt.
Sagen wir mal [mm] $(a,\infty)$, [/mm] ich kann zwar eine unendliche überdeckung finden, zb die Folge der Intervalle $(a,n)$ mit n gegen Unendlich,a ber niemals eine Endliche !!! Stimmt auch, oder?
Also vielen vielen Dank!
Cruemel
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Hallo und guten Morgen Cruemel,
leider stimmt's ''noch nicht so ganz''. Denn es heisst ''Teilüberdeckung'' und nicht ''echte Teilüberdeckung'', d.h. jede Überdeckung ist per definitionem
eine Teilüberdeckung ihrer selbst.
Also betrachten wir die Menge [mm] (0,1)\subset\IR [/mm] und eine offene Teilüberdeckung [mm] \{U_n,n\in\IN\} [/mm] von (0,1) mit
[mm] U_n:= (\frac{1}{n+2},\frac{1}{n}).
[/mm]
(1) Zeige: Dies ist eine offene Überdeckung von (0,1).
(2) Zeige: Es gibt keine endliche Teilüberdeckung, d.h. keine endliche Teilmenge [mm] I\subset\IN [/mm] mit [mm] \bigcup_{i\in I}U_i\supseteq [/mm] (0,1)
Also ist (0,1) nicht kompakt.
Wird's jetzt klar ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 24.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo,
Ich glaub ich verstehe was du meinst, das intervall $ (a,n) $ ist eine ECHTE Teilmenge von $ [mm] (a,\infty) [/mm] $ und deshalb geht es mit dieser Teilüberdeckung nicht, oder? Also such ich gerade die Überdeckung, die die fragliche Menge gerade noch überdeckt, aber wenn sie noch "kleiner" werden würde, dann wär sie schon eine echte Teilmenge, und mit dieser Menge (also der die die fragliche Menge gerade noch überdeckt) kann ich dann zeigen, das sie nicht endlich Überdeckt werden kann. Kann man das so ungefähr sagen?
Grüße
Cruemel
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Hallo.
Nun, zunächst einmal, eine offene Überdeckung ist keine Menge sondern eine Familie von Mengen.
Bleiben wir doch mal bei dem Beispiel von Mathias.
Wir haben das Intervall (0,1) und die Familie von Mengen [mm] $M:=\{U_i\mid i\in\IN\}$ [/mm] mit [mm] $U_i=\left(\frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right)$. [/mm] Nun zeigen wir erstmal, daß das eine offene Überdeckung ist. Daß die Mengen alle offen sind, ist trivial.
Nun müssen wir zeigen, daß es für alle [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $x\in U_n$. [/mm] Nun, ganz offensichtlich gibt es ein $n$ mit [mm] $\frac{1}{n+2}
Nun zeigen wir, daß es keine endliche Teilüberdeckung gibt.
Nun, wenn wir eine endliche Indexmenge [mm] $I\subset\IN$ [/mm] auswählen, so gibt es sicherlich ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n-1,n\not\in [/mm] I$. Dann ist aber, wegen [mm] $\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right)\subset (0,1)\setminus (U_{k-2}\cup U_{k+1})$ [/mm] und [mm] $U_j\cap U_{j+k}=\emptyset$ [/mm] für [mm] $j\in\IN$ [/mm] und [mm] $k\ge [/mm] 2$:
[mm] $\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)\subset (0,1)\setminus\bigcup\limits_{i\in I}U_i$, [/mm] sprich: es fehlt mindestens das Intervall [mm] $\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)$, [/mm] um (0,1) zu überdecken.
Es folgt, da $I$ beliebig, aber endlich war, daß (0,1) nicht kompakt ist.
Gruß,
Christian
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