Partielle Ableitung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mi 07.01.2009 | | Autor: | milox |
| Aufgabe | | Fehlerrechnung nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetzt |
Ich musste einige Versuche durchführen mit denen ich die spezifische Wärmekapazität fester Körper bestimmen kann. Nun muss ich auch noch eine Fehlerrechnung durchführen und zwar nachdem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Ich hoffe das sagt Jemanden etwas, falls nicht, dann ist es auch nicht weiterhin schlimm, weil das ganze darauf basiert, die möglichen fehlerbehaftet Variablen (zB Messfehler) alle partiell abzuleiten.
Ich habe eine Formel geschafft aber bin nicht sicher, ob das richtig ist.
Hier ist meine Formel, die ich partiell nach [mm] T_{b},T_{m} [/mm] und [mm] T_{a} [/mm] ableiten, da nur die Messfehler der Temperaturen beachtet werden soll.
[mm] C_{k}\{T_{b},T_{m},T_{a}\}=c_{1}\{m_{b}*\bruch{T_{b}-T_{m}}{T_{m}-T_{a}}-m_{a}\}
[/mm]
Nun wende ich die Formels des linearen Fehlerfort... an und leite partiell der Reihenfolge nach ab:
[mm] |c_{1}m_{b}\bruch{1}{T_{m}-T_{a}}|*\Delta T_{b} [/mm] + [mm] |c_{1}m_{b}\bruch{1*(-1)*(-1)}{(T_{m}-T_{a})^{2}}|*\Delta T_{m}+|c_{1}m_{b}\bruch{(T_{b}-T_{m})*(-1)*(-1)}{(T_{m}-T_{a})^{2}}|*\Delta T_{a}
[/mm]
Da es sich bei z.B. bei [mm] T_{m}, [/mm] um eine Temperatur handelt, muss man beim ableiten darauf achten, dass die Einheit mitgenommen wird? Sprich, dass in dieser Formel bei einigen Einsen dann noch ein K dahinter stehen muss?
So ich meine, dass diese Formel stimmt, weil ich am Ende dann auch die Einheit [mm] \bruch{J}{K} [/mm] erhalte für die Wärmekapazität des Kalorimeters.
Nun muss ich auch die spez. Wärmekapazität von Eisen berechnen samt Fehlerrechnung. Und genau hier hackt es gewaltig beim ableiten.
Das ist die Funktion:
[mm] c_{2}(T_{1},T_{2},T_{m})=\bruch{(m_{1}c_{1}+C_{k})*(T_{m}-T_{1})}{m_{2}(T_{2}-T_{m})}
[/mm]
und hier ist meine partielle Ableitung nach [mm] T_{1}...hab [/mm] an dieser Stelle aufgehört, weil die Einheit nicht übereinstimmt mit [mm] \bruch{J}{g*K}
[/mm]
[mm] |\bruch{(m_{1}c_{1}+C_{k})(-1)}{m_{2}(T_{2}-T_{m})}|* \Delta T_{1}
[/mm]
wenn ich dann werte einsetze, dann kürze ich das K komplett weg und das kann nicht sein...sehe aber leider auch keine fehler.
hoffe jemand kann mir einen tipp geben.
danke schon mal im voraus!!
gruß milox
|
|
| |
|
Hallo!
Die lineare Fehlerfortpflanzung ist weniger gebräuchlich, häufiger sieht man die Gaußsche (quadratische) Fehlerfortpflanzung. Die funktioniert aber ganz genauso wie bei dir, nur daß man diese einzelnen Summanden noch quadriert, und später aus der Gesamtsumme noch die Wurzel zieht.
Die lineare FF. gibt dir einen Wert für den maximal möglichen Fehler, Gauß gibt dir einen wahrscheinlichen Fehlerbereich basierend auf der Annahme, daß es äußerst unwahrscheinlich ist, daß bei allen Messgrößen gleichzeitig voll daneben liegen.
Aber ich kann dich beruhigen, ich kann auch keinen Fehler entdecken:
$ [mm] \bruch{([J/K])}{[g]([K])}\cdot{} [/mm] [{K}] $
$ [mm] \bruch{([J/K])}{[g]} [/mm] $
[mm] $\left[\bruch{J}{g*K}\right]$
[/mm]
Paß auf, daß du g*K nicht als Kilogramm mißinterpretierst!
Bei den Ableitungen mußt du nicht auf die Einheiten achten, denn erinnere dich an den Differenzenquotienten:
[mm] $\frac{df(x)}{dx}\approx\frac{f(x+\delta x )-f(x)}{\delta x} [/mm] $
Ableiten ist eigentlich sowas wie eine Grenzwertbetrachtung bei einer Division. Für Einheiten IST Ableiten GLEICH Division
Und wenn du anschließend wieder mit [mm] $\Delta [/mm] x$ multiplizierst, hast du wieder die uhrsprüngliche Einheit!
Es gibt nur eine Sache, auf die du aufpassen mußt:
[mm] f(x)=\sin(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\cos(x)
[/mm]
[mm] $f'(x)*\Delta x=cos(x)*\Delta [/mm] x$
Wie groß ist der Fehler, wenn [mm] x=0^\circ [/mm] und [mm] $\Delta x=10^\circ$ [/mm] ? Denk dran, der größtmögliche denkbare Fehler von f(x) ist 2, denn die FUnktion geht nur von -1 bis +1.
Abhilfe: Verwende NIEMALS das 360°-System bei Winkeln, sondern immer nur Radiant mit [mm] 2\pi [/mm] als Vollkreis!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 07.01.2009 | | Autor: | milox |
Also bitte nochmal ganz konkret im Bezug auf die Frage, was ich mit den Einheiten mache
Weil mir der Differenzenquotient gerade nichts sagt
Ich werde jetzt einfach mal die komplette abgeleitete Form aufschreiben und in den ersten Teil Werte einsetzen.
= [mm] |\bruch{(m_{1}c_{1}+C_{k})*(-1)}{m_{2}(T_{2}-T_{m})}|*\Delta T_{1} [/mm] + [mm] |\bruch{(m_{1}c_{1}+C_{k})*(T_{m}-T_{1})*(-1)*m_{2}}{(m_{2}*T_{2}-m_{2}T_{m})^{2}}|*\Delta T_{2}+ |\bruch{(m_{1}c_{1}+C_{k})*(1)*(-1)*(-m_{2})}{(m_{2}*T_{2}-m_{2}T_{m})^{2}}|*\Delta T_{m}
[/mm]
so das ist meine abgeleitete form...werde jetzt für den Teil nach [mm] T_{1} [/mm] abgeleitet die Zahlenwerte einsetzen:
= [mm] |\bruch{(199,25g*4,19\bruch{J}{g*K}+115,04\bruch{J}{K})*(-1K)}{94,6g(99,7K-26,5K)}|*0,5K
[/mm]
also hier sind die werte eingesetzt und wenn du selber guckst, dann erkennst du, dass die einheit am ende nicht stimmt. wenn ich jetzt deine antwort richtig verstanden habe, dann reicht es die einheiten nicht zu beachten und einfach abzuleiten?
die gaußsche form ist mir auch bekannt aber wir sollten halt die lineare anwendung und danke für die info bezüglich dessen!
|
|
|
| |
|
Hallo!
Richtig, du sollst die Einheiten nicht beachten, oder besser, nicht einfach was irgendwo hinschreiben oder entfernen.
In deiner Formel stand ein [mm] -T_1 [/mm] , das hat die Einheit K. Du hast das abgeleitet, dann steht da nur noch -1. Dies hat aber keine Einheit! Einheiten kommen nur da hin, wo auch Formelzeichen für irgendwelche Größen stehen, aber NICHT an irgendwelche Zahlen, die sich bei der Berechnung wie hier ergeben. Wenn natürlich von vorn herein irgend eine einheitenbehaftete Größe als Zahl eingesetzt wurde, so behält sie natürlich ihre Einheit.
Nochmal zum Differenzenquotienten, versuchen wir es einfacher:
Die Ableitung liefert dir doch die Steigung [mm] m=\frac{\green{\Delta} y}{\green{\Delta} x} [/mm] einer Funktion y(x) an einem bestimmten Punkt. Das meine ich mit Division: y-Änderung durch x-Änderung.
Wenn du differenzieren lernst, geht es darum, was passiert, wenn man diese Änderung [mm] $\green{\Delta} [/mm] x$ immer kleiner, eben gegen 0 gehen läßt. Dann wird auch [mm] $\green{\Delta} [/mm] y$ immer kleiner, aber dieses [mm] \frac{\green{\Delta} y}{\green{\Delta} x} [/mm] hat dann irgendeinen Grenzwert. Man schreibt dann statt der Deltas einfach [mm] \frac{dy}{d x} [/mm] oder eben partiell mit [mm] \partial [/mm] , aber die Idee bleibt im Grunde.
Die ganzen Ableitungsregeln, die du so kannst, haben nur einen Zweck: Sie liefern dir eine Formel für diesen Grenzwert, und daß das eigentlich so ne Grenzwertbetrachtung ist, merkst du gar nicht mehr. Das ist alles.
Wie auch immer, deine Fortpflanzungsfunktion verlangt, daß du nach einer Größe ableitest, und mit dem Fehler für diese Größe multiplizierst, also sowas: [mm] $\frac{\green{\Delta} y}{\green{\Delta} x}*\Delta x=\Delta [/mm] y$ Das grüne Delta meint was anderes als das schwarze, aber für die Einheiten ist das egal. Man teilt durch die Einheit von x, und multipliziert anschließen wieder damit, und das Ergebnis ist wieder die ursprüngliche Einheit von y.
Ließ dir das nochmal in Ruhe durch, wenn du Zeit hast!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 07.01.2009 | | Autor: | milox |
Achsoo ja ok..jetzt habe ich das verstanden. Wie du schon im letzten Satz gesagt hast...man leitet zwar nach einer Größe ab aber multipliziert wieder mit dieser Einheit...es ändert sich nichts. Ok.
Aber betrachten wir doch mal die Formel der Ableitung für die spezifische Wärmekapazität. Ich werde direkt die Werte einsetzen.
Hier nochmal zur Übersicht die Werte, die eingesetzt werden:
[mm] |\bruch{(199,25g\cdot{}4,19\bruch{J}{g\cdot{}K}+115,04\bruch{J}{K})\cdot{}(-1)}{94,6g(99,7K-26,5K)}|\cdot{}0,5K+|\bruch{(199,25g\cdot{}4,19\bruch{J}{g\cdot{}K}+115,04\bruch{J}{K})\cdot{}(26,5K-21,1K)\cdot{}(-1)\cdot{}94,6g}{(94,6g\cdot{}99,7K-94,6g26,5K)^{2}}|\cdot{}\Delta [/mm] 2K+ [mm] |\bruch{(199,25g\cdot{}4,19\bruch{J}{g\cdot{}K}+115,04\bruch{J}{K})\cdot{}(1)\cdot{}(-1)\cdot{}(-94,6g)}{(94,6g\cdot{}99,7K-94,6g26,5K)^{2}}|\cdot{}\Delta [/mm] 0,5K
so bei [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2} [/mm] funktioniert es, wenn man die Formel durchgeht...dann kommt am Ende auch wirklich [mm] \bruch{J}{g*K} [/mm] aber wenn ich bei [mm] T_{m} [/mm] das Spiel mit den Vorzeichen ausprobiere, dann kommt bei mir am Ende [mm] \bruch{J}{g*K^{2}}
[/mm]
Oder mache ich einen Denkfehler? Also das muss doch wenigstens am Ende der gesamten Rechnung aufgehen oder? Wenn man schon die Einheiten beim Ableiten weglassen kann von der Variablen, die man ableitet, dann sollte doch wenigstens am Ende wieder die eigentlich Einheit rauskommen, weil wir ja gerade geklärt haben, dass sich an der Stelle eigentlich nichts verändert.
Oder ist meine Ableitung falsch?
Das wird dann nämlich auch oben bei meinem [mm] C_{k} [/mm] Funktion das Problem sein, weil ich dort beim Ableiten immer die Einheit mitgenommen habe, weil sonst eine andere rausgekommen wäre am Ende meiner Rechnung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ableitung nach Tm ist falsch.
ich vereinfache, indem ich den festen Faktor rausziehe,
als [mm] c(T1,T2,TM)=a*\bruch{Tm-T1}{T2-Tm} [/mm] die einheit ist die von a
Ableitung nach Tm: [mm] a*\bruch{(T2-Tm)*1-(Tm-T1)*(-1)}{(T2-Tm)^2}=a*\bruch{T2-T1}{(T2-Tm)^2} [/mm] die Einheit ist die von a/K durch Mult mit [mm] \Delta [/mm] T wieder die von a.
[mm] a=(m_1c_1+C_k)/m_2 [/mm] Einheit J/g°K
Wenn du deinen Faktor statt ihn immer mitzuführen gleich aus der ganzen Rechnung rauszögst wär deine Rechnerei nicht si unübersichtlich und du hättest den Fehler vielleicht selbst gemerkt.
Bis dann lula
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
MIr fällt nochein fieser Trick ein:
$ \Delta C_{k}}=c_{1}\{m_{b}\cdot{}\bruch{T_{b}-T_{m}}{T_{m}-T_{a}}-m_{a}\} *\left(\left|\frac{\Delta T_b}{T_b}\right|+\left|\frac{\Delta T_m}{T_m}\right|+\left|\frac{\Delta T_a}{T_a}\right|\right)$
Das funktioniert aber nur bei solchen einfachen Formeln der Form \frac{a*(x+b)}{c} oder \frac{a}{b*(x+c)}. Wenn die abzuleitende Variable quadratisch oder in noch höheren Potenzen vorkommt, kann man sich überlegen, daß da noch irgendwo Zahlen rein kommen, aber sobald da irgendwelche Funktionen ala SIN, LOG oder was auch immer vorkommt, funktioniert das nicht mehr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Do 08.01.2009 | | Autor: | milox |
also ich habe jetzt alles ausgerechnet bekommen und alles scheint richtig zu sein...selbst einheiten kommen hier
vielen herzlichen dank an event_horizon und leduart!
|
|
|
|
