Partielle Integration 2ter Ordnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 15.07.2004 | | Autor: | Robert |
Servus!
Ich soll von dem untenstehenden Term alle in ihrem Definitionsbereich möglichen partiellen Ableitungen der zweiten Ordnung bestimmen. Normalerweise wüsste ich ja wie es geht aber mich verwirrt, dass x und y in Verbindung mit dem ln stehen. Wie muss man hier vorgehen?
[mm] f(x,y)=ln(x^2+y^2)
[/mm]
Vielen Dank!
Grüße Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 15.07.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Robert!
Ich hoffe, ich kann dir etwas helfen.
Der [mm]ln[/mm] sollte dich nicht beunruhigen, du weißt doch, wie man den [mm]ln[/mm] ableitet, oder?
[mm]ln'(x)=\bruch{1}{x}[/mm].
und dann musst du die Kettenregeln anwenden, die in [mm] \mathbb{R} [/mm] gilt, d.h. du leitest den [mm]ln[/mm] ab und multiplizierst dann noch mit der inneren Ableitung.
Also, alle möglichen Ableitungen zweiter Ordnung sind
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial x},\bruch{\partial f}{\partial y \partial y},\bruch{\partial f}{\partial x \partial y},\bruch{\partial f}{\partial y \partial x}.
[/mm]
Bei einer ersten Ableitung helfe ich dir mal:
sagen wir bei [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}.
[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{x^2+y^2}*2x[/mm]
die [mm]2x[/mm] kommen durch die innere Ableitung vom [mm]ln[/mm] zustande, während die [mm]y^2[/mm] als Konstante gesehen werden können, da wir ja nur nach [mm]x[/mm] ableiten.
Ist das verständlich?
Jetzt musst du also noch die erste Ableitung nach [mm]y[/mm] bilden und dann jeweils die erste von [mm]x[/mm] noch mal nach [mm]x[/mm] und noch mal nach [mm]y[/mm] ableiten.
Und dann noch die erste Ableitung von [mm]y[/mm] nach [mm]x[/mm] und nach [mm]y[/mm] ableiten.
Hm, weiß nicht, wie ich das besser erklären soll.
Aber wenn du noch Fragen hast, dann frag, ok?
Gruß,
hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 15.07.2004 | | Autor: | Robert |
Servus!
Vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Inzwischen ist mir sogar klar geworden, dass der ln wirklich nicht böse ist ;)
Also um die Aufgabe komplett zu lösen, brauche ich also fx, fy, fxx, fyy, fxy und fyx ? Wie überprüfe ich, ob sie definiert sind?
Danke und viele Grüße
Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 15.07.2004 | | Autor: | hanna |
hallo
> Also um die Aufgabe komplett zu lösen, brauche ich also fx, fy, fxx, fyy, >fxy und fyx ?
ja, so wie ich das sehe schon.
> Wie überprüfe ich, ob sie definiert sind?
hm, ja, eigentlich müsstest du deine Definition von partieller Differenziebarkeit gucken, die Sache mit den Grenzwerten:
Sei [mm]U \subset \mathbb{R}^n[/mm] offen, [mm]a=(a_1,...,a_n)^t \in U[/mm] und [mm]F: U \to \mathbb{R}^m[/mm] eine Funktion.
a) F heißt in a partiell diffbar bzgl der k-ten Koordinate, wenn [mm] 1\lek\le [/mm] n und
[mm]D_kF(a):= {\partial F\br\partial x_k}(a) := \lim_{x \to a_k} {1 \br x-a_k}[F((a_1,...,a_{k-1},x,a_{k+1},...,a_n)^t)-F(a)] = \lim_{t \to 0} {1 \br t}(F(a+te_k)-F(a)) \in \mathbb{R}^m[/mm] existiert.
Wobei [mm] e_k [/mm] der Einheitsvektor der k-ten Koordinate bzgl. der Standardbasis ist.
Also müsstest du die Grenzwerte bilden und natürlich überprüfen, ob dein Definitionsbereich offen ist!
Aber das müsste bei deiner Funktion schon alles klappen, wenns der Definitionsbereich zulässt.
gruß,
hanna
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