Phasendrehung, Nyquist < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgender Regelkreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den Regelkreis werde ein P-Regler verwendet: K(s)=k, [mm] k\in\IR^{+}
[/mm]
Die Regelstrecke sei durch nachfolgende Übertragungsfunktionen gegeben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für alle Strecken sind die Ortskurven in den Abbildungen 3 bis 6 dargestellt. Entscheiden Sie anhand der Ortskurven unter Verwendung des Nyquist-Kriteriums, ob der Regelkreis für eine Reglerverstärkung k=1 asymptotisch stabil ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
es geht um die phasendrehung bzw das nyquist-kriterium. das besagt, dass der geschlossene regelkreis G*K dann asympt. stabil is, wenn die ortskurve nicht durch den kritischen punkt (-1,0) geht und ihre phasendrehung bezgl. dieses punktes [mm] \pi (r_{G}+r_{K}) [/mm] is, wobei [mm] r_{G} [/mm] und [mm] r_{K} [/mm] die Anzahl der Pole von G und K mit positivem Realteil bezeichnen.
ich komm mit der phasendrehung nich zu recht. nehmen wir bsp a) die geforderte phasendrehung is nach nyquist ja 0. die tatsächlich auch. aber warum? wie kommt man auf die tatsächliche phasendrehung von 0? und inwiefern spielt die verstärkung k hier eine rolle? wäre nett, wenn mir das jmd mal anschaulich erklären könnte.
dazu noch folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hier soll der offene kreis zwei instabile pole aufweisen, also ist die geforderte phasendrehung [mm] 2\pi [/mm] . die durchgezogene linie hat eine tatsächliche phasendrehung von [mm] -2\pi [/mm] , die gestrichelte von [mm] 2\pi [/mm] . warum?
zu guter letzt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die gestrichelte linie hat ein verstärkung von k=1, die strich-punkt-linie von k=2 und die durchgezogene linie von k=4. die ü-fkt sind folgende:
[Dateianhang nicht öffentlich]
für k=1 und k=2 ist der regelkreis asympt. stabil, nicht aber für k=4. warum? woran sieht man das?
ich hoffe, das is nich zu unübersichtlich geworden und einer von euch kann mir helfen...
schöne grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Gegeben sei folgender Regelkreis:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Für den Regelkreis werde ein P-Regler verwendet: K(s)=k,
> [mm]k\in\IR^{+}[/mm]
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> Die Regelstrecke sei durch nachfolgende
> Übertragungsfunktionen gegeben:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Für alle Strecken sind die Ortskurven in den Abbildungen 3
> bis 6 dargestellt. Entscheiden Sie anhand der Ortskurven
> unter Verwendung des Nyquist-Kriteriums, ob der Regelkreis
> für eine Reglerverstärkung k=1 asymptotisch stabil ist.
> Begründen Sie Ihre Entscheidung.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hi,
>
> es geht um die phasendrehung bzw das nyquist-kriterium. das
> besagt, dass der geschlossene regelkreis G*K dann asympt.
> stabil is, wenn die ortskurve nicht durch den kritischen
> punkt (-1,0) geht und ihre phasendrehung bezgl. dieses
> punktes [mm]\pi (r_{G}+r_{K})[/mm] is, wobei [mm]r_{G}[/mm] und [mm]r_{K}[/mm] die
> Anzahl der Pole von G und K mit positivem Realteil
> bezeichnen.
Da fehlen erstmal noch die Pole auf der reellen Achse! Nyquist sagt aus, das der geschlossene Kreis (mit [mm] \bruch{1}{1 + G(s)*K(s)}) [/mm] genau dann stabil ist, wenn [mm] \bruch{\pi}{2}*(2(a_{G} [/mm] + [mm] a_{K}) [/mm] + [mm] (b_{G} [/mm] + [mm] b_{K})) [/mm] = [mm] \Phi [/mm] mit [mm] a_{G},a_{K} [/mm] - Anzahl Pole mit echt positivem Realteil und [mm] b_{G},b_{K} [/mm] - Anzahl Pole mit Realteil = 0
[mm] \Phi [/mm] ist der Winkel den der Zeiger vom Punkt(-1, 0) auf der Ortskurve überstreicht (und zwar von [mm] \omega [/mm] = 0 bis [mm] \omega \rightarrow \infty)
[/mm]
Jetzt schau dir die Ortskurven an: Bsp. a): Der Zeiger für [mm] \omega [/mm] = 0 ist
waagerecht auf der Re-Achse d.h. [mm] \phi(\omega=0) [/mm] = 0. Der Zeiger bewegt sich entlang der Ortskurve in Richtung 4.Quadrant [mm] \rightarrow [/mm] mathematisch negative Drehrichtung! Für größer werdendes [mm] \omega [/mm] bewegt sich der Zeiger runter und wieder hoch, endet aber für [mm] \omega \rightarrow \infty [/mm] wieder bei [mm] \phi [/mm] = 0! Der insgesamt überstrichene Winkel ist also
[mm] \Phi [/mm] = [mm] \phi(\omega=0) [/mm] - [mm] \phi(\omega \rightarrow \infty) [/mm] = 0.
Jetzt musst du schauen was für Pole dein G(s) und dein K(s) haben.
In die Gleichung einsetzen, (je nachdem was gegeben und was gesucht ist natürlich) und los gehts...
> ich komm mit der phasendrehung nich zu recht. nehmen wir
> bsp a) die geforderte phasendrehung is nach nyquist ja 0.
> die tatsächlich auch. aber warum? wie kommt man auf die
> tatsächliche phasendrehung von 0? und inwiefern spielt die
> verstärkung k hier eine rolle? wäre nett, wenn mir das
> jmd mal anschaulich erklären könnte.
Die Verstärkung könnte, wenn sie einen kritischen Wert überschreitet dafür sorgen, das die Ortskurve (-1, 0) "umläuft" und der überstrichene Winkel dann [mm] \pm 2\pi [/mm] beträgt (siehe dazu dein Bild unten mit verschiedenen K)
> dazu noch folgendes:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> hier soll der offene kreis zwei instabile pole aufweisen,
> also ist die geforderte phasendrehung [mm]2\pi[/mm] . die
> durchgezogene linie hat eine tatsächliche phasendrehung
> von [mm]-2\pi[/mm] , die gestrichelte von [mm]2\pi[/mm] . warum?
Der mathematisch positive Drehsinn (also positiv gezählte Winkel) ist entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. Wenn du die gestrichelte Kurve umläufst geht es also in positiver Winkelrichtung, bei der durchgezogenen Linie in negativer...
>
> zu guter letzt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> die gestrichelte linie hat ein verstärkung von k=1, die
> strich-punkt-linie von k=2 und die durchgezogene linie von
> k=4. die ü-fkt sind folgende:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> für k=1 und k=2 ist der regelkreis asympt. stabil, nicht
> aber für k=4. warum? woran sieht man das?
Siehe oben Anmerkung wegen Verstärkung. Anzahl instabiler Pole:
[mm] a_{G} [/mm] = 0 = [mm] a_{K} [/mm] Anzahl imaginärer Pole: [mm] b_{G} [/mm] = 0 = [mm] b_{K}
[/mm]
der geforderte Winkel ist 0. Im Fall k=4 überstreicht der Zeiger aber [mm] -2\pi [/mm] (negative Drehrichtung) damit ist der geschlossene Kreis instabil!
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> ich hoffe, das is nich zu unübersichtlich geworden und
> einer von euch kann mir helfen...
>
> schöne grüße
Ich hoffe das ist jetzt ein bisschen klarer
Gruß Christian
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vielen dank für deine schnelle antwort. also die phasendrehung der ortskurve aus bsp a) is mir jetzt klar :) aber leider die in den andren beispielen nich :( komischerweise... deshalb hab ich ma n paar grafiken gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
bei a) sieht man ja, dass der winkel insg. 0 ist. ok
bei b) müsste die phasendrehung auch 0 sein für asympt. stabilität aber das ist sie doch offensichtlich nich. ich zeige vom punkt (-1,0) zum anfang der ortskurve und gehe dann zum ende. der größte winkel ist doch die phasendrehung und die is nich 0
bei c) muss die phasendrehung ja auch 0 sein aber das ist sie nich, deshalb instabil, ok... (steht in der lsg ^^)
beid d) muss die phasendrehung [mm] \pi [/mm] sein, aba ich seh kein [mm] \pi [/mm] :(
und hier noch eine grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
das is doch wie abb. 3 a) insg. ist der winkel 0, bei beiden... :(
also wie du siehst blick ich noch nich ganz durch... hoffe du kannst mir nochma helfen
schöne grüße
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Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> vielen dank für deine schnelle antwort. also die
> phasendrehung der ortskurve aus bsp a) is mir jetzt klar :)
> aber leider die in den andren beispielen nich :(
> komischerweise... deshalb hab ich ma n paar grafiken
> gemacht:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> bei a) sieht man ja, dass der winkel insg. 0 ist. ok
>
> bei b) müsste die phasendrehung auch 0 sein für asympt.
> stabilität aber das ist sie doch offensichtlich nich. ich
> zeige vom punkt (-1,0) zum anfang der ortskurve und gehe
> dann zum ende. der größte winkel ist doch die
> phasendrehung und die is nich 0
Richtig, allerdings muss der Winkel [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sein für Stabilität, du hast ja einen Pol auf der imaginären Achse (siehe von mir korrigierte Nyquist-Formel), der winkel für [mm] \omega [/mm] = 0 ist [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] und wandert für [mm] \omega \rightarrow \infty [/mm] um [mm] +\bruch{\pi}{2} [/mm] gegen 0, also [mm] 0-(-\bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} \rightarrow [/mm] stabil!
> bei c) muss die phasendrehung ja auch 0 sein aber das ist
> sie nich, deshalb instabil, ok... (steht in der lsg ^^)
Nein die Phasendrehung müsste [mm] +\pi [/mm] sein (doppelter Pol auf Im-Achse) ist aber [mm] -\pi [/mm] (immer [mm] \phi(\omega=0) [/mm] - [mm] \phi(\omega \rightarrow \infty)),
[/mm]
deshalb natürlich trotzdem instabil
> beid d) muss die phasendrehung [mm]\pi[/mm] sein, aba ich seh kein
> [mm]\pi[/mm] :(
die Phasendrehung müsste [mm] \bruch{3*\pi}{2} [/mm] sein(einfacher Pol auf der Im-Achse und einfacher Pol in der rechten Halbebene).
Der Zeiger dreht sich (positiv) von [mm] \bruch{+pi}{2} [/mm] zu [mm] 2*\pi \rightarrow [/mm] stabil!
> und hier noch eine grafik:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> das is doch wie abb. 3 a) insg. ist der winkel 0, bei
> beiden... :(
hmmm...dieses Diagramm ist erst mal um +90° gedreht (gegenüber der herkömmlichen Anordnung), wenn du nun den "richtigen" Punkt Re=-1 und Im=0 aufsuchst, stimmt es 
Gruss Christian
> also wie du siehst blick ich noch nich ganz durch... hoffe
> du kannst mir nochma helfen
>
> schöne grüße
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jo, vielen dank. klappt jetzt :))) deine korrigierte nyquist-form steht so nich im skript oda sonstwo aber scheint ja zu klappen ; )
schöne grüße
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Tja so stehts in meinem Skript in Regelungstechnik....
Gruss Christian
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