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Hi,
habe hier eine Aufgabe, die ich gerechnet habe, aber ich weiss halt nicht,
ob ich sie korrekt lösen konnte .p
wäre nett, wenn das mal jemand korrektur lesen könnte...Danke
Aufgabe:
Gegeben sein das Vektorfeld [mm] \vec{g}: \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit
[mm] \vec{g}(x,y) [/mm] = [mm] \vektor{3+ye^{xy} \\ xe^{xy}}
[/mm]
(i) Berechnen sie ein Potential F von [mm] \vec{g}.
[/mm]
(ii) Berechnen sie das Kurvenintegral
[mm] \integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x}
[/mm]
wobei [mm] \Gamma [/mm] die Kurve mit der Parameterdarstellung
[mm] \vec{x}:[0,2\pi] \to \IR^{2} [/mm] , [mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ \sin(t)}
[/mm]
und hier nun meine Lösung:
(i) F(x,y) = [mm] \integral_{0}^{x}f_{1}(t,0)dt [/mm] + [mm] \integral_{0}^{y}f_{2}(x,t)dt
[/mm]
F(x,y) = [mm] \integral_{0}^{x}3dt [/mm] + [mm] \integral_{0}^{y}xe^{xt}dt
[/mm]
F(x,y) = 3x + [mm] e^{xy}
[/mm]
(ii) hier habe ich gezeigt, dass [mm] \vec{g} [/mm] ein Potential besitzt
1. rot [mm] \vec{g} [/mm] = 0
2. Potentiale existieren in Gebieten, die die Singularität nicht umschliessen.
Also in einfach zusammenhängenden Gebieten.
Da [mm] \vec{g} [/mm] ein Potential besitzt und [mm] \Gamma [/mm] eine geschlossene Kurve ist
=> [mm] \integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x} [/mm] = 0
Und hier ist noch eine Aufgabe, die ich leider nciht lösen kann, bin
dankbar fuer jeden Tip
Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \vec{g}: \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit
[mm] \vec{f}(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{y \\ -(x+y) \\ x}
[/mm]
Berechnen sie die Kurvenintegrale
[mm] \integral_{\Gamma_{1}}\vec{f}(\vec{x})d\vec{x}
[/mm]
und
[mm] \integral_{\Gamma_{2}}\vec{f}(\vec{x})d\vec{x}
[/mm]
wobei
(i) [mm] \Gamma_{1} [/mm] die Verbindungsstrecke von (0,0,0) nach (1,1,1) ist
(ii) [mm] \Gamma_{2} [/mm] der achsenparallele Polygonzug von (0,0,0) über (1,0,0)
und (1,1,0) nach (1,1,1) ist.
Vielen Dank für eure Hilfe ;p
Ciao...
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Hallo trinkMilch!
> habe hier eine Aufgabe, die ich gerechnet habe, aber ich
> weiss halt nicht,
> ob ich sie korrekt lösen konnte .p
Dafür sind wir ja dann da. 
> Aufgabe:
>
> Gegeben sein das Vektorfeld [mm]\vec{g}: \IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> mit
> [mm]\vec{g}(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{3+ye^{xy} \\ xe^{xy}}[/mm]
>
> (i) Berechnen sie ein Potential F von [mm]\vec{g}.[/mm]
> (ii) Berechnen sie das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x}[/mm]
>
> wobei [mm]\Gamma[/mm] die Kurve mit der Parameterdarstellung
> [mm]\vec{x}:[0,2\pi] \to \IR^{2}[/mm] , [mm]\vec{x}(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ \sin(t)}[/mm]
>
> und hier nun meine Lösung:
>
> (i) F(x,y) = [mm]\integral_{0}^{x}f_{1}(t,0)dt[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{y}f_{2}(x,t)dt[/mm]
>
> F(x,y) = [mm]\integral_{0}^{x}3dt[/mm] + [mm]\integral_{0}^{y}xe^{xt}dt[/mm]
>
> F(x,y) = 3x + [mm]e^{xy}[/mm]
>
> (ii) hier habe ich gezeigt, dass [mm]\vec{g}[/mm] ein Potential
> besitzt
>
> 1. rot [mm]\vec{g}[/mm] = 0
>
> 2. Potentiale existieren in Gebieten, die die Singularität
> nicht umschliessen.
> Also in einfach zusammenhängenden Gebieten.
>
> Da [mm]\vec{g}[/mm] ein Potential besitzt und [mm]\Gamma[/mm] eine
> geschlossene Kurve ist
>
> => [mm]\integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x}[/mm] = 0
Kann das sein, dass du (i) und (ii) vertauscht hast? Also, mit Potentialen kenne ich mich nicht aus, aber ich würde meinen, dass keine deiner Lösungen zu Aufgabe (i) passt. Wenn ich jetzt nicht ein anderes Thema im Kopf habe als du, dann musst du für das Kurvenintegral folgendes berechnen:
[mm] \integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x} [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi}g(\Gamma(t))*\Gamma'(t)dt
[/mm]
Du setzt also dein [mm] \Gamma [/mm] in das g ein (die erste Komponente von [mm] \Gamma [/mm] ist dann dein x und die zweite dein y), und [mm] \Gamma'(t) [/mm] ist [mm] \vektor{1\\\cos t}. [/mm] Ok? Ich glaube, da hast du etwas Falsches gemacht...
> Und hier ist noch eine Aufgabe, die ich leider nciht lösen
> kann, bin
> dankbar fuer jeden Tip
>
> Gegeben sei das Vektorfeld [mm]\vec{g}: \IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
> mit
> [mm]\vec{f}(x,y,z)[/mm] = [mm]\vektor{y \\ -(x+y) \\ x}[/mm]
>
> Berechnen sie die Kurvenintegrale
> [mm]\integral_{\Gamma_{1}}\vec{f}(\vec{x})d\vec{x}[/mm]
> und
> [mm]\integral_{\Gamma_{2}}\vec{f}(\vec{x})d\vec{x}[/mm]
> wobei
> (i) [mm]\Gamma_{1}[/mm] die Verbindungsstrecke von (0,0,0) nach
> (1,1,1) ist
>
> (ii) [mm]\Gamma_{2}[/mm] der achsenparallele Polygonzug von (0,0,0)
> über (1,0,0)
> und (1,1,0) nach (1,1,1) ist.
Naja, hier musst du das ganz genauso machen wie bei der Aufgabe gerade, nur musst du halt zuerst dein [mm] \Gamma [/mm] herausfinden. Wie man das genau macht, weiß ich im Moment leider auch nicht, aber so weit ich weiß, geht das t bei diesen "Strecken" immer von 0 bis 1 - also vielleicht wäre das sowas wie [mm] \vektor{t\\t\\t} [/mm] - aber ich glaub', so stimmt das noch nicht...
Und bei (ii) würde ich dann das [mm] \Gamma_2 [/mm] in 3 Teile zerlegen, wobei dann [mm] \Gamma_{21} [/mm] von (0,0,0) bis (1,0,0) geht, [mm] \Gamma_{22} [/mm] von (1,0,0) bis (1,1,0) und das letzte dann entsprechend.
Tut mir leid, dass ich dir im Moment nicht mehr helfen kann, aber jemand anders kann das bestimmt noch.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Servus,
zu (i) : Richtig, [mm] F(x,y)=3x+e^{xy} [/mm] ist ein Potential zu dem angegbenen Vektorfeld [mm] \vec{g}.
[/mm]
zu (ii): Da du in (i) ein Potential schon explizit ausgerechnet hast, brauchst du natürlich nicht mehr zu zeigen, dass ein Potential existiert......
Deine Argumentation bzgl des Kurvenintegrals über die Kurve [mm] \gamma [/mm] wäre auch auch korrekt, wenn die Kurve tatsächlich eine geschlossene Kurve wäre, ist sie aber nicht: [mm] \gamma [/mm] (0) = [mm] (0,0)\neq (2\pi,0)=\gamma(2\pi).
[/mm]
Du mußt also das Kruvenintegral gemäß seiner Definition ausrechnen - so wie es in dem anderen Post beschrieben wurde.
Bei der zweiten Aufgabe genauso. Parametrisierung der Verbindungsstrecke der Punkte (0,0,0) und (1,1,1):
[mm] \gamma [/mm] : [mm] [0;1]\rightarrow \IR^{3}, t\mapsto [/mm] (0,0,0)+t*(1,1,1)
Gruß
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Hi,
habe nun mal versucht das Kurvenintegral nach Definition auszurechnen :D
Aber ich komme auf keinen grünen Zweig.
schaut mal:
ich setzte dann alles in die Definition ein, aber komme auf:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{3+\sin(t)e^{t*\sin(t)} + te^{t*\sin(t)}\cos(t)*dt}
[/mm]
aber das kann ich nie im Leben integrieren .p
aber ich habe doch alles richtig eingesetzt oder??
Vielen Dank für die Mühen....c ya
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Hallo!
> Aber ich komme auf keinen grünen Zweig.
>
> schaut mal:
>
> ich setzte dann alles in die Definition ein, aber komme
> auf:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{3+\sin(t)e^{t*\sin(t)} + te^{t*\sin(t)}\cos(t)*dt}[/mm]
>
> aber das kann ich nie im Leben integrieren .p
>
> aber ich habe doch alles richtig eingesetzt oder??
Ja, jedenfalls habe ich das Gleiche raus. Es kam mir auf den ersten Blick auch sehr seltsam vor, aber du kannst ja immerhin alle Summanden einzeln integrieren, und vielleicht klappt der Rest dann mit partieller Integration?
Viele Grüße
Bastiane
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Hehe, Danke
bin erstmal zufrieden, das ich wnigstens richtig einsetzten kann .p
aber wie soll das denn mit partieller Integration funktionieren??
f(x) = [mm] {\underbrace{e^{x*\sin(x)}}_{=u'} * \underbrace{\sin(x)}_{=v}}
[/mm]
hier verschindet doch nie einer der beiden Faktoren u' oder v. :(
keine Ahnung, vielleicht mit einer Substitution, die ich nicht sehen kann ;p
trotzdem vielen Dank, bis bald
Gruss,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 01.08.2005 | | Autor: | trinkMilch |
Klasse, vielen Dank .p
[mm] \integral{e^{z}*dz} [/mm] sollte gerade noch machbar sein. ^^
cu und bis bald ;p
Gruss,
Marc
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Produktregel
??
