Problem bei Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Do 20.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Hallo,
ich versuche gerade folgende Funktion zu integrieren:
[mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel[2]{(x^{3}+2)}}
[/mm]
Bekanntlich benutze ich die Substitutionsregel, weil g(x) und g'(x) in einer Form in f(x) vorkommt.
Wenn ich t= [mm] \wurzel[2]{(x^{3}+2)} [/mm] substituiere, erhalte ich am Ende ein Ergebnis von 1/1,5 dt ohne eine Abhängigkeit von t.
Wenn ich jedoch nur t = [mm] x^{3}+2 [/mm] substituiere, erhalte ich das richtige Integral von [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{(x^{3}+2)} [/mm] + C
Woran liegt das? Darf ich NUR die Ableitung von g(x) substituieren?
Vielen Dank und schönen Abend noch.
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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Hallo Jens
> Hallo,
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> ich versuche gerade folgende Funktion zu integrieren:
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> [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel[2]{(x^{3}+2)}}[/mm]
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> Bekanntlich benutze ich die Substitutionsregel, weil g(x)
> und g'(x) in einer Form in f(x) vorkommt.
>
> Wenn ich t= [mm]\wurzel[2]{(x^{3}+2)}[/mm] substituiere, erhalte ich
> am Ende ein Ergebnis von 1/1,5 dt ohne eine Abhängigkeit
> von t. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mache hier weiter nach Plan...
>
> Wenn ich jedoch nur t = [mm]x^{3}+2[/mm] substituiere, erhalte ich
> das richtige Integral von [mm]\bruch{2}{3}[/mm]*[mm]\wurzel[2]{(x^{3}+2)}[/mm] + C
>
> Woran liegt das? Darf ich NUR die Ableitung von g(x)
> substituieren?
Nein, beide Substitutionsvarianten klappen und führen genau zum selben Ergebnis
In deiner ersten Substitution [mm] $t:=\sqrt{x^3+2}$ [/mm] bekommst du nach allem Pipapo nach deinen (richtigen) Worten: [mm] $\int{\frac{1}{1,5} \ dt}$
[/mm]
Was ist denn [mm] $\frac{1}{1,5}$?? [/mm] Doch [mm] $\frac{2}{3}$
[/mm]
Also hast du [mm] $\int{\frac{2}{3} \ dt}=\frac{2}{3}\cdot{}t [/mm] + C$
Wenn du das nun resubstituierst mit [mm] $t=\sqrt{x^3+2}$, [/mm] so bekommst du doch genau [mm] $...=\frac{2}{3}\cdot{}\sqrt{x^3+2} [/mm] + C$
>
> Vielen Dank und schönen Abend noch.
>
> Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Vielen Dank für die Antwort. Müsste ich aber für dt nicht den langen Term --- dx ( --- = Term) einsetzen und nicht nur mein substituiertes t?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenz!
Du musst aber [mm] $d\red{x}$ [/mm] durch [mm] $d\red{t}$ [/mm] ersetzen.
Das heißt, bei Deiner 1. Variante musst Du einsetzen:
$$dx \ = \ [mm] \bruch{2*\wurzel{x^3+2}}{3*x^2} [/mm] \ * \ dt$$
Bzw. bei Deinem 2. Rechenweg, der ebenfalls zum Ziel führt:
$$dx \ = \ [mm] \bruch{1}{3*x^2} [/mm] \ * \ dt$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Wahrscheinlich meinst du dx = ... dt.
Aber das habe ich ja auch gemacht und nach Kürzen etc. kam ich dann zb. auf 2/3 dt.
Da fehlt ja bloß noch der Wurzelterm. Aber den erreiche ich ja nicht, wenn ich dt (welches ich vorher ja definiert habe durch Umstellen) einsetze. Höchstens nur, wenn ich nur t einsetze.
PS: Ich habe immer alle x-Werte (zb. x²) mit den jeweiligen Umformungen von t ersetzt? Ist das überflüssig oder soll ich das so weiterführen? Weil ich ja am Ende "dt" im Integral stehen habe, deswegen dürfte ja kein x mehr vorkommen, sondern nur t's.
Schönen Karfreitag noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenz!
> Wahrscheinlich meinst du dx = ... dt.
Ups, richtig ... da hatte ich mich vertippt - ist aber nun korrigiert.
> Aber das habe ich ja auch gemacht und nach Kürzen etc. kam
> ich dann zb. auf 2/3 dt.
> Da fehlt ja bloß noch der Wurzelterm. Aber den erreiche
> ich ja nicht, wenn ich dt (welches ich vorher ja definiert
> habe durch Umstellen) einsetze. Höchstens nur, wenn ich nur
> t einsetze.
Du musst [mm] $\integral{\bruch{2}{3} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\integral{1 \ dt}$ [/mm] erst integrieren - damit erhältst Du dann wieder Dein $t_$ welches Du entsprechend ersetzen kannst.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Huch, das habe ich ja ganz vergessen, obwohl ich es bei meiner 2. Variante auch gemacht: [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{3} * \bruch{1}{\wurzel{t}} dt} [/mm] = 1/3 * [ 2* [mm] \wurzel{t} [/mm] ] als Stammfunktion.
Demnach (nach Rücksubstitution erhalte ich bei dieser Variante die Lösung (wie im Ausgangsbeitrag beschrieben) erhalten.
Wie kann man bei einer Integration einfach das Integrieren vergessen ... Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
Ich versteh nicht wie du auf diese Stammfunktion kommst!
wo hast du diese 2 bei 2 mal [...]
Ich habe als ergebnis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] ln(\wurzel{x^3+2})
[/mm]
Weil ich bekomme ja nachdem ich durch kürzen von t' 1/t raus und das wird doch mit ln t "integriert" oder ?
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Hallo Mather,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versteh nicht wie du auf diese Stammfunktion kommst!
> wo hast du diese 2 bei 2 mal [...]
Leite doch [mm]2*\wurzel{t}[/mm]:
[mm]\left(2*\wurzel{t}\right)'=\left(2*{t}^{\bruch{1}{2}}\right)'=2*\bruch{1}{2}*t^{-\bruch{1}{2}}=\left(2*\wurzel{t}\right)=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]
>
> Ich habe als ergebnis [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]ln(\wurzel{x^3+2})[/mm]
Herauskommen soll [mm]\bruch{\red{2}}{3}*ln(\wurzel{x^3+2})[/mm].
>
> Weil ich bekomme ja nachdem ich durch kürzen von t' 1/t
> raus und das wird doch mit ln t "integriert" oder ?
Ja, das ist bekanntlich so.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:37 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
erstmal danke für die nette begrüßung
ja und das ist ja mein problem ich komme nicht auf die 2/3.
das mit dem ableiten von $ [mm] 2\cdot{}\wurzel{t} [/mm] $ versteh ich jez wieder. danke das hat meinem kopf wieder gut getan die wurzel umzuwandeln :)
wie komme ich aber auf die 2/3?
[mm] \bruch{x²}{\wurzel{x³+2}}
[/mm]
z=x³+2
z'=3x²
[mm] \bruch{x²}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{3x²}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dz
wenn ich das jez mit z = [mm] \wurzel{x³+2} [/mm] mache dann bekomm ich für
z'= [mm] (x³+2)^0,5 [/mm] ---> 0,5 (x³+2) 3x² wegen der kettenregel aber ich glaube jez mache ich das vollkommen falsch... *heul*
wie kommt man auf die 2/3?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> erstmal danke für die nette begrüßung
>
> ja und das ist ja mein problem ich komme nicht auf die
> 2/3.
> das mit dem ableiten von [mm]2\cdot{}\wurzel{t}[/mm] versteh ich
> jez wieder. danke das hat meinem kopf wieder gut getan die
> wurzel umzuwandeln :)
> wie komme ich aber auf die 2/3?
>
> [mm]\bruch{x²}{\wurzel{x³+2}}[/mm]
>
> z=x³+2
> z'=3x²
Bis hierhin stimmts.
>
> [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3x²}[/mm]
Hier ist es schon falsch. Wenn du [mm] $z=x^3+2$ [/mm] setzt, dann musst du aber auch im ersten Bruch
[mm] $\frac{x^2}{\sqrt{z}}$ [/mm] schreiben, denn sonst hast du ja einfach die Wurzel "verschlampt".
Ist dir das bewusst? Du fasst ja nur den Term "unter der Wurzel" als ein z zusammen, die Wurzel musst du dann noch stehen lassen. Wenn du dann integrierst, bekommst du den Faktor 2 beim Integrieren der Wurzel im Nenner mit rein. Probiers einfach nochmal =)
>
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] dz
>
> wenn ich das jez mit z = [mm]\wurzel{x³+2}[/mm] mache dann bekomm
> ich für
> z'= [mm](x³+2)^0,5[/mm] ---> 0,5 (x³+2) 3x² wegen der kettenregel
> aber ich glaube jez mache ich das vollkommen falsch...
Hier ist dein Fehler, dass du die [mm] $x^3+2$ [/mm] einfach so dahinschreibst. Du hast falsch abgeleitet.
Die Ableitung lautet: [mm] $dz/dx=\frac{1}{2\sqrt{x^3+2}}*3x^2$. [/mm] Jetzt einmal nach dx umstellen, das für dx einsetzen und dann ganz einfach sehen, dass sich so gut wie alles weghebt. Es wird nur noch der konst. Faktor 2/3 dastehen bleiben, dann ist das integrieren einfach =)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Probiers jetzt einfach nochmal =)
LG
Kroni
> *heul*
> wie kommt man auf die 2/3?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
Jaaaa stimmt ich hab vergessen beim ableiten das "hoch minus einhalb" hinzuschreiben! Dankeeee
jez habe ich
[mm] \bruch{x²}{z} [/mm] * [mm] \bruch{2\wurzel{x³+2 dz}}{3x²}
[/mm]
jez küzt sich das x² weg dann habe ich mein 2/3
aber wie geht das jez weiter?
> $ [mm] \bruch{x²}{z} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{dz}{3x²} [/mm] $ und wie komme ich auf die 2/3 wenn ich da ne wurzel hinmache...?
Tut mir leid das ich das nicht weiss :( und gute nacht
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Hallo Mather,
> Jaaaa stimmt ich hab vergessen beim ableiten das "hoch
> minus einhalb" hinzuschreiben! Dankeeee
>
> jez habe ich
>
> [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{2\wurzel{x³+2 dz}}{3x²}[/mm]
>
> jez küzt sich das x² weg dann habe ich mein 2/3
>
> aber wie geht das jez weiter?
Setze [mm]z=x^3+2[/mm], denn das ist ja gerade die Subsitution, dann steht da:
[mm]\bruch{x²}{z} * \bruch{2\wurzel{x³+2}}{3x²}\ \red{dz}=\bruch{1}{z} * \bruch{2\wurzel{x³+2}}{3} \ dz=\bruch{1}{z} * \bruch{2\wurzel{z}}{3}\ dz[/mm]
>
> > [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3x²}[/mm] und wie komme ich auf die
> 2/3 wenn ich da ne wurzel hinmache...?
> Tut mir leid das ich das nicht weiss :( und gute nacht
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
[mm] \bruch{2\wurzel{z}}{3z}
[/mm]
ich komm da nicht weiter :D naja vlt ist das auch nichts für ein grudkursler
trotzdem dankööööööö
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Hallo Mather,
> [mm]\bruch{2\wurzel{z}}{3z}[/mm]
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> ich komm da nicht weiter :D naja vlt ist das auch nichts
> für ein grudkursler
Die Potenzgesetze sind auch was für Grundkursler.
Mit diesen Potenzgesetzen solltest Du weiterkommen.
>
> trotzdem dankööööööö
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
Jaaaaaaaaa ICH habs !
DANKE DANKE VIELEN DANK Ihr seid echt super :D juppi *freu*
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