Rang < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum, A [mm] \in [/mm] End(V) und S,T [mm] \in GL_{k}(V). [/mm] ZeigenSie ,dass dann Rang(SAT) = Rang(A) gilt. |
Halli Hallo,
bei der Aufagbe ist mein Problem, dass ich noch nie etwas von Rang(SAT) gehoert habe .
Aber die allgemein was Rang angeht, hab ich noch nicht so ganz verstanden. Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Am besten waere es noch wenn, mir das dann jemand Schritt fuer Schritt erklaeren wuerde...
Gruss Lavanya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Do 29.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Lavanya.
Ist $M$ eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix über dem Körper [mm] $\IK$, [/mm] so bezeichnet $Rang(M)$ die Dimension des von den Spalten der Matrix aufgespannten Untervektorraumes im [mm] $\IK^n$. [/mm] Beispiele:
- [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\in \IR^{3\times 3}$ [/mm] hat die Dimension $3$, da [mm] $\left{\vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{0\\ 1\\ 0},\vektor{0\\ 0\\ 1}\right}$ [/mm] linear unabhängig sind
- [mm] $\pmat{1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4\\ 3 & 0 & 6}\in\IR^{3\times 3}$ [/mm] hat den Rang $2$
Eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix $M$ nennen wir regulär, wenn ihr Rang maximal, d.h. $Rang(M)=n$ ist.
Man kann weiterhin zeigen, dass man den Rang auch über die Dimension des Zeilenraumes, d.h. des durch die Zeilen der Matrix aufgespannten Vektorraumes, definieren kann.
Wie dir bereits bekannt ist, lassen sich lineare Abbildungen über $n$-Dimensionalen [mm] $\IK$-Vektorräumen [/mm] als Matrizen aus [mm] $\IK^{n\times n}$ [/mm] repräsentieren. Dabei gilt folgende wichtige Beziehung: ist [mm] $f:V\to [/mm] V$ linear und $M$ Darstellungsmatrix von $f$, dann ist $rang(M)=dim(Bild(f))$. Was sagt uns das? Ein wichtiger Fall besagt, dass $dim(Bild(f))=n$ genau dann, wenn $rang(M)=n$, wenn die Darstellungsmatrix von $f$ also regulär ist. Und wenn [mm] $V\supseteq [/mm] dim(Bild(f))=n$, dann ist $dim(Bild(f))=V$, d.h. $f$ ist surjektiv; aus $dim(Kern(f))+dim(Bild(f))=n$ folgt nun $dim(Kern(f))=0$ (Äquivalenz von In- und Surjektivität für lineare Abbildungen in endlich-dimensionalen Vektorräumen) und somit ist $f$ auch injektiv; $f$ ist also bijektiv.
Nun, weiter geht's: nehmen wir an, es seien [mm] $f,g:V\to [/mm] V$ zwei lineare Abbildungen und $M,N$ seien Darstellungsmatrizen von $f,g$ bzgl. einer beliebig gewählten Basis [mm] ${\cal B}=\{b_1,b_2,...,b_n\}\subset [/mm] V$. Ist [mm] $v=\sum_{i=1,2,..,n} k_i b_i\in [/mm] V, [mm] k_i\in \IK$, [/mm] so verstehe ich unter [mm] $\vektor{k_1\\ k_2\\ \vdots\\ k_n}\in\IK^n$ [/mm] die Komponentendarstellung von $v$ bzgl. [mm] ${\cal B}$. [/mm] Ist also [mm] $\vektor{k_1\\ k_2\\\vdots \\k_n}$ [/mm] Komponentendarstellung eines Vektors $v$, so ist [mm] $M\cdot [/mm] v$ die Komponentendarstellung von $f(v)$ bzgl. [mm] ${\cal B}$. [/mm] Wenden wir nun nocheinmal $g$ auf $f(v)$ an, so erhalten wir [mm] $N\cdot (M\cdot v)=(N\cdot M)\cdot [/mm] v$ als Komponentendarstellung von $g(f(v))$. Daraus ist ersichtlich, dass [mm] $N\cdot [/mm] M$ Darstellungsmatrix der Komposition [mm] $g\circ [/mm] f$ bzgl. der Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] ist.
Nun können wir das Problem anpacken: seien [mm] $f\in [/mm] End(V)$ eine lineare Abbildung, $A$ Darstellungsmatrix von $f$ und [mm] $S,T\in Gl_{\IK}(n)$ [/mm] beliebige, reguläre Matrizen. Dann fassen wir $S,T$ als bijektive, lineare Abbildungen $s,t$ von $V$ in sich auf. Nach der obigen Überlegung ist dann [mm] $S\cdot A\cdot [/mm] T$ die Darstellungsmatrix von [mm] $s\circ f\circ [/mm] t$, also [mm] $rang(S\cdot A\cdot T)=dim(Bild(s\circ f\circ [/mm] t))$. So, nun bist du dran: warum ändert sich die Dimension des Bildraumes nicht, wenn wir $f$ mit bijektiven Abbildungen verknüpfen?
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Wow kann ich da nur sagen......
Danke schoen
Lavanya
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