Rang rg(A) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 So 24.05.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Wie hängt rg (A) von a ab für [mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }
[/mm]
|
Guten Morgen
Stehe hier gerade voll auf der Leitung und komme einfach nicht weiter... wäre um eine kurze Rückmeldung dankbar!
Ich muss die ganze Matrix auf eine Zeilenstufenform bringen...
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 }
[/mm]
die 3. Zeile bringe ich das a weg indem ich durch a dividiere und anschliessend 3. Zeile minus 1. Zeile rechne
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1/a - 1 & 1/a -a }
[/mm]
doch wie geht es nun weiter? irgendwie muss ich nun aus 1/a - 1 eine 0 hinkriegen...
|
|
| |
|
> Wie hängt rg (A) von a ab für [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>
> Guten Morgen
>
> Stehe hier gerade voll auf der Leitung und komme einfach
> nicht weiter...
Hallo,
im Prinzip fädelst Du es richtig ein.
Aufpassen mußt Du, wenn Du dividierst, die a, für welche Du durch 0 dividieren würdest, mußt Du ausschließen und gesondert untersuchen.
> Ich muss die ganze Matrix auf eine Zeilenstufenform
> bringen...
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 }[/mm]
>
> die 3. Zeile bringe ich das a weg indem ich durch a
> dividiere
Für [mm] a\not=0.
[/mm]
> und anschliessend 3. Zeile minus 1. Zeile rechne
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1/a - 1 & 1/a -a }[/mm]
>
> doch wie geht es nun weiter? irgendwie muss ich nun aus 1/a
> - 1 eine 0 hinkriegen...
[mm] \bruch{1}{a}-1=\bruch{1-a}{a}, [/mm] und nun multliplizierst Du so, daß Du eine 1 bekommst.
Aber STOP:
Du kannst alles einfacher haben.
Bedenke: die matrix ist invertierbar, also Rang 3, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Berechne die Determinante und für welche a sie =0 wird.
Außerhalb dieser Werte weißt Du sofort Bescheid, und den Rang für die a, für die die det. =0 ist, untersuchst anschließend.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 24.05.2009 | | Autor: | kilchi |
Darf ich dich hier was fragen?
Habe soeben in meinen Unterlagen geforscht, leider nichts gefunden...
Wie kann man anhand der Determinante den Rang ablesen? Wenn sie invertierbar ist (d.h. [mm] \not=0), [/mm] kann man da sofort den Rang ablesen?
Muss ich die Matrix nicht zuerst in die Zeilenstufenform bringen?
zu meiner Aufgabe:
Wenn ich die Determinante berechne gibt es 0 = 3a - 2 [mm] -a^3 [/mm]
2 = 3a - [mm] a^3
[/mm]
=> [mm] a_1= [/mm] 1 und [mm] a_2= [/mm] -2
Muss das jetzt einsetzen und die Matrix "neu" auflösen... Nach meinem Prinzip also auf die Zeilenstufenform bringen und dann kann ich den Rang wieder ablesen.
Dann bekäme ich [mm] rg(a_1) [/mm] = 1 und [mm] rg(a_2) [/mm] = 2 oder?
|
|
|
| |
|
> Darf ich dich hier was fragen?
>
> Habe soeben in meinen Unterlagen geforscht, leider nichts
> gefunden...
> Wie kann man anhand der Determinante den Rang ablesen?
> Wenn sie invertierbar ist (d.h. [mm]\not=0),[/mm] kann man da sofort
> den Rang ablesen?
Hallo
Nun, die Determinante und der Rang haben insofern miteinander zu tun, dass der maximale Rang nur erreicht ist, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
>
> Muss ich die Matrix nicht zuerst in die Zeilenstufenform
> bringen?
>
Ist für die Berechnung der Determinante nicht nötig. Ausserdem müsstest du dann bei Zeilenoperationen je nach dem das Endergebniss anpassen.
> zu meiner Aufgabe:
>
> Wenn ich die Determinante berechne gibt es 0 = 3a - 2 [mm]-a^3[/mm]
>
> 2 = 3a - [mm]a^3[/mm]
>
> => [mm]a_1=[/mm] 1 und [mm]a_2=[/mm] -2
Es gibt nicht 0 = [mm] -a^{3} [/mm] + 3a - 2 sondern det(A) = [mm] -a^{3} [/mm] + 3a - 2.
Jetzt hängt der Rang der Matrix insofern mit dieser Gleichung zusammen, als dass:
rang(A) = 3 [mm] \Rightarrow -a^{3} [/mm] + 3a - 2 [mm] \not= [/mm] 0.
Also Rang(A) [mm] \not= [/mm] 3 für [mm] \alpha [/mm] = 1 oder [mm] \alpha [/mm] = -2
> Muss das jetzt einsetzen und die Matrix "neu" auflösen...
> Nach meinem Prinzip also auf die Zeilenstufenform bringen
> und dann kann ich den Rang wieder ablesen.
>
> Dann bekäme ich [mm]rg(a_1)[/mm] = 1 und [mm]rg(a_2)[/mm] = 2 oder?
Richtig. Somit hast du alle Fälle abgedeckt und deine Aufgabe ist gelöst.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo kilchi
eine gleichung dritten Grades hat wenn sie mehr als eine Nullstelle hat 3 Nullstellen. eine hast du vergessen. (a=-1)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo kilchi
> eine gleichung dritten Grades hat wenn sie mehr als eine
> Nullstelle hat 3 Nullstellen. eine hast du vergessen.
> (a=-1)
> Gruss leduart
Hallo,
nein,
a=-1 ist keine Nullstelle.
Es ist a=1 eine doppelte Nullstelle.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
