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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 27.11.2005 | | Autor: | Willi |
Hey leute,
könnte nochmal ein bißl Hilfe brauchen. DANKE!
Ich habe die folgende Reihe gegeben und muss überprüfen ob sie konvergiert oder divergiet:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1})
[/mm]
Ich habe raus, dass diese Reihe divergiert, stimmt das? War unsicher, weil ich mehrere Konvergenzkriterien überprüft hab aber immer was unterschiedliches raus hatte, sprich: mal konvergenz, mal divergenz!
Könnt ihr mir noch sagen ob bei folgender Reihe der Grenzwert -1/2 ist:
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{1}{k(k-1)}
[/mm]
das hab ich nämlich raus, bin aber unsicher.
Vielliecht könnt ihr mir noch bei folgender Aufgabe helfen:
Geben sie fünf verschiedene unendliche Reihen an, die alle konvergieren mit Grenzwert 2/3.
Hab da leider keinen Ansatz, da die Konvergenzkriterien einem ja hier nicht weiterhelfen können.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wie hast du denn rausgefunden, dass deine Reihe divergiert? Die Kriterien können ja keine verschiedenen Ergebnisse liefern. Dann musst du dich irgendwo verrechnet haben. I.A. liefern eh nicht alle Kriterien eine brauchbare Aussage! Hier würde ich das Quotientenkriterium anwenden.
Bei deiner zweiten Reihe liefert das Quotienkriterium keine Aussage. Da habe ich raus, dass q=1 ist:
[mm] \bruch{\bruch{1}{(k+1)k}}{\bruch{1}{k(k-1)}}=\bruch{k+1}{k-1}= \bruch{k}{k-1}+\bruch{1}{k-1}=1 [/mm] für k gegen unendlich.
Für q=1 liefert das Quotientenkrierium keien Aussage.
Man beachte Loddars Hinweis zum Minorantenkriterium!
Bei der letzten Aufgabe würde ich ganz einfach die Regel für geometrische Reihen rückwärts anwenden. Dann bekommst du ganz leicht verschiedene Reihen für den Grenzwert 2/3.
Ich hoffe, dass hilft dir etwas.
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 So 27.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> Hingegen das Wurzelkriterium sagt nach kurzer Umformung [mm]\wurzel{\bruch{1}{k^{2}-k}}[/mm]
> und dieses konvergiert gegen
> null für k gegen unendlich. Also konvergiert deine Reihe!
Du vergisst hier aber, dass wir beim Wurzelkriterium mit der n-ten Wurzel arbeiten (müssen) :
[mm] $\wurzel[\red{n}]{ \ \left| \ a_n \ \right| \ }$
[/mm]
Und damit konvergiert die der Ausdurck [mm] $\bruch{1}{\wurzel[\red{n}]{k*(k-1)}}$ [/mm] gegen den Wert $1_$, so dass auch mit diesem Kriterium keine Aussage möglich ist.
Hier hilft aber das Majorantenkriterium ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 27.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Willi!
Mit welchen Kriterien hast Du es denn versucht?
Du musst die Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k}-\wurzel{k-1}$ [/mm] zunächst umformen, indem Du mit [mm] $\wurzel{k} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \wurzel{k-1}$ [/mm] erweiterst.
Anschließend hilft dann das Minorantenkriterium, um die Divergenz dieser Reihe zu zeigen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 27.11.2005 | | Autor: | Tequila |
hm muss er nicht mit [mm] \wurzel{k} [/mm] + [mm] \wurzel{k-1} [/mm] erweitern?
dann hättest du am ende [mm] \bruch{1}{\wurzel{k} + \wurzel{k-1}}
[/mm]
dann das minorantenkriterium
achja und zu dem hier: [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{1}{k(k-1)}
[/mm]
ist = 1
form die summe mal so um das du da stehen hast
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{1}{k-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
dann machste ne teleskopsumme
also setzt k=2 in das erste k ein und k=unendlich in das zweite k ein
dann haste da 1 - 0 = 1
ist aber auch schon spät und kann sein das ich kompletten blödsinn fasel :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 So 27.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
> hm muss er nicht mit [mm]\wurzel{k}[/mm] + [mm]\wurzel{k-1}[/mm] erweitern?
Völlig richtig! Da hatte ich mich vertippt (bzw. beim Kopieren nicht aufgepasst), es ist jetzt aber korrigiert.
Danke für den Hinweis und das Aufpassen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Loddar, kannst du mir vielleicht mal das Minorantenkriterium erklären? Ich steige da einfach nicht hinter..!
per Def. gilt ja: Gilt [mm] 0 \le a_n \le b_n [/mm] ab einem [mm] n_0 [/mm] und ist die Minorante [mm] \sum a_n [/mm] divergent, dibvergiert auch [mm] \sum b_n [/mm].
Aber wie wendet man das denn jetzt bei einem konkreten Beispiel an? Zum Beispiel bei der Reihe mit $ [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k}-\wurzel{k-1} [/mm] $ ? Soll die Reihe dann gleich [mm] b_n [/mm] sein und muss man sich dann noch eine Reihe [mm] a_n [/mm] suchen, die kleinergleich [mm] b_n [/mm] und größergleich 0 ist?!
Also irgendwie verstehe ich das nicht so ganz..! Wäre super, wenn mir das mal jemand erklären könnte!
Danke, Gruß Mitch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Mitch |
hey loddar, danke für deine super Antwort... jetzt ist mir einiges klargeworden. Aber darauf muss man erstmal kommen, den Bruch so geschickt umzuformen...!
Dicken Gruß Mitch
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... Da wir ja nun den Verdacht der Divergenz haben, müssen wir uns eine bekannte divergente Reihe suchen, die kleiner ist als unsere Reihe.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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