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| Aufgabe | Für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{k} [/mm] der Umfang des regelmäßigen [mm] 2^{k}3-Ecks, [/mm] dessen Inkreis den Radius 1 hat, und es sei [mm] b_{k} [/mm] der Umfang des regelmäßigen [mm] 2^{k}3-Ecks, [/mm] dess Umkreis den Radius 1 hat. Archimedes hat die Rekursionsformeln
[mm] a_{k+1}=\bruch{2a_{k}b_{k}}{a_{k}+b_{k}} [/mm] und [mm] b_{k+1}=\bruch{\wurzel{2a_{k}}b_{k}}{\wurzel{a_{k}+b_{k}}} [/mm] gefunden. Berechnen sie [mm] a_{1},...,a_{5},b_{1},...,b_{5} [/mm] undzeigen Sie, dass die Folgen [mm] (a_{k}) [/mm] und [mm] (b_{k}) [/mm] konvergent sind und einen gemeinsamen Grenzwert haben. |
Hilfe!!!
Wie macht man das?
Ich habe leider keinen blassen Schimmer, was ich bei dieser Aufgabe überhaupt machen soll, bzw. wo ich da am besten mit was anfange. bitte helft mir!
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> Für k [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]a_{k}[/mm] der Umfang des regelmäßigen
> [mm]2^{k}3-Ecks,[/mm] dessen Inkreis den Radius 1 hat, und es sei
> [mm]b_{k}[/mm] der Umfang des regelmäßigen [mm]2^{k}3-Ecks,[/mm] dess Umkreis
> den Radius 1 hat. Archimedes hat die Rekursionsformeln
> [mm]a_{k+1}=\bruch{2a_{k}b_{k}}{a_{k}+b_{k}}[/mm] und
> [mm]b_{k+1}=\bruch{\wurzel{2a_{k}}b_{k}}{\wurzel{a_{k}+b_{k}}}[/mm]
> gefunden. Berechnen sie [mm]a_{1},...,a_{5},b_{1},...,b_{5}[/mm]
> undzeigen Sie, dass die Folgen [mm](a_{k})[/mm] und [mm](b_{k})[/mm]
> konvergent sind und einen gemeinsamen Grenzwert haben.
> Hilfe!!!
> Wie macht man das?
> Ich habe leider keinen blassen Schimmer, was ich bei
> dieser Aufgabe überhaupt machen soll, bzw. wo ich da am
> besten mit was anfange. bitte helft mir!
Hallo,
anfangen würde ich mit dem genauen Durchlesen:
Es geht also um besondere regelmäßige n-Ecke, nämlich die [mm] 2^k*3-Ecke [/mm] - mit dem In- bzw. Umkreisradius 1. Und zwar um deren Umfänge.
Um Formeln hierfür brauchst du Dich fast nicht mehr zu bemühen, das hat Archimedes bereits für Dich erledigt.
Zur Berechnung der geforderten Werte [mm] a_{1},...,a_{5},b_{1},...,b_{5}
[/mm]
fehlen Dir lediglich die Startwerte für k=1. Also die entsprechenden Umfänge für Dreiecke. Die mußt Du berechnen.
Anhand der berechneten Werte [mm] a_{1},...,a_{5},b_{1},...,b_{5} [/mm] wird dir vermutlich ein Verdacht bzgl. der Monotonie der Folgen kommen. Der wäre zu beweisen.
Ich weiß jetzt nicht, wieviele Kenntnisse aus der Geometrie Ihr verwenden dürft: jedenfalls ist es offensichtlich, daß der Kreisumfang jeweils die Folgen beschränkt.
Darf man das verwenden, ist die Konvergenz klar.
Bleibt nur noch die Gleichheit des Grenzwertes, welche sich aus der Rekursion ergibt.
Gruß v. Angela
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