Reste einer Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 30.01.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die möglichen Reste einer Quadratzahl bei Division durch 10.
b) Zeigen Sie: Für kein [mm] n\in \IN [/mm] mit n [mm] \le [/mm] 2 ist 777...77 (n-Stellen) eine Quadratzahl |
Hallo,
ich hänge hier an einer Aufgabe:
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Danke und Grüße
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Hallo Bodo,
> a) Bestimmen Sie die möglichen Reste einer Quadratzahl bei
> Division durch 10.
>
> Hallo,
>
> ich hänge hier an einer Aufgabe:
>
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Nun, es ist [mm] $10=2\cdot{}5$, [/mm] schaue dir die Reste also bzgl. 2 (einfach) und bzgl.5 - etwas mehr Arbeit an.
1.Fall: $n$ gerade, etwa $n=2k, [mm] k\in\IN$, [/mm] dann ist [mm] $n^2=4k^2$
[/mm]
Welche Reste lässt das?
2.Fall: $n$ ungerade, $n=2k+1$, also [mm] $n^2=4k^2+4k+1$
[/mm]
Das lässt die Reste ...
>
> Danke und Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
zu Teilaufgabe b). Ich denke, du meinst [mm] n\geq [/mm] 2.
Dann ist [mm] z=\underbrace{77\ldots 7}_{n}=7\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{n}.
[/mm]
Kennst du eine Teilbarkeitsregel für die 7 (Stichwort alternierende Dreierblöcke)? Damit kannst du zeigen, das [mm] \underbrace{11\ldots 1}_{n} [/mm] nie durch 7 teilbar ist. Dann aber kann z keine Quadratzahl sein, da der Faktor 7 nur einmal vorkommt.
Du kannst dir die Teilbarkeitsregel auch herleiten mit [mm] 1001=7*11*13\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 7
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 30.01.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo,
>
> zu Teilaufgabe b). Ich denke, du meinst [mm]n\geq[/mm] 2.
Ja!
> Dann ist [mm]z=\underbrace{77\ldots 7}_{n}=7\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{n}.[/mm]
>
> Kennst du eine Teilbarkeitsregel für die 7 (Stichwort
> alternierende Dreierblöcke)? Damit kannst du zeigen, das
> [mm]\underbrace{11\ldots 1}_{n}[/mm] nie durch 7 teilbar ist. Dann
> aber kann z keine Quadratzahl sein, da der Faktor 7 nur
> einmal vorkommt.
> Du kannst dir die Teilbarkeitsregel auch herleiten mit
> [mm]1001=7*11*13\equiv[/mm] 0 [mm]\mod[/mm] 7
Nein, dein Hinweis alternierende Dreierblöcke sagt mir jetzt nichts...
Es könnte aber sein, dass ich die 777777...77 in dreierblocks einteile
also 777 | 777 | 777 ... | 77. Und jetzt (alternierend = Wechsel der Vorzeichen + - ) 777 - 777 + 777 - 777 ... + 77. Somit heben sich doch alle "Blöcke" weg bis auf den ersten 777 und den letzten 77. Da es keine Quadratzahl gibt die auf 7 endet, ist dies die Lösung des Problems.
Jetzt müsste man es wohl nur noch in "schön" aufschreiben...
Grüße
>
> Gruß, pyw
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Da es keine Quadratzahl gibt die auf 7 endet, ist dies die Lösung des Problems.
Stimmt, das ist hier wegen a) sicherlich auch die erwartete Lösung. :)
> Nein, dein Hinweis alternierende Dreierblöcke sagt mir jetzt nichts...
Da ich es einmal erwähnt habe, ist hier die Regel:
- Zahl von rechts beginnend in Dreierblöcke teilen (ganz links kann ein unvollständiger Block entstehen)
- Blöcke als dreistellige Zahlen auffassen
- von rechts gezählt die alternierende Summe S der Blöcke bilden:
S=1.Block-2.Block+3.Block-4.Block, [mm] \ldots
[/mm]
Die Ausgangszahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn es die so ermittelte Summe S ebenfalls ist.
Problem: Die Zahl aus lauter Einsen kann anders, als ich vorher angenommen habe, durch 7 teilbar sein. Z. B. die Zahl 111111. Dann ist S=111-111=0 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
Sry für die falsche Fährte.
Gruß, pyw
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Multiplizierst du 2 Zahlen miteinander, so hat das Produkt dieselbe Endziffer wie das Produkt aus den Endziffern der Faktoren. Beispiel: 234567*223458 hat die Endziffer 6, weil 7*8=56 auch die Endziffer 6 hat. Dies wird einem sofort klar, wenn man sich das Verfahren anschaut, wie man von Hand aus" multipliziert und wie dabei die letzte Ziffer entsteht.
Für die Quadratzahlen gilt deshalb:
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 1 haben die Endziffer von 1*1, also 1
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 2 haben die Endziffer von 2*2, also 4
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 3 haben die Endziffer von 3*3, also 9
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 4 haben die Endziffer von 4*4, also 6
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 5 haben die Endziffer von 5*5, also 5
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 6 haben die Endziffer von 6*6, also 6
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 7 haben die Endziffer von 7*7, also 9
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 8 haben die Endziffer von 8*8, also 4
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 9 haben die Endziffer von 9*9, also 1
Alle Quadratzahlen von Zahlen mit Endziffer 0 haben die Endziffer von 0*0, also 0
Das wären dann auch die möglichen Zehnerreste.
2, 3 und 7 kommen nicht vor, es gibt also keine Quadratzahl mit diesen Endziffern.
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