Rotationskörper < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
| Aufgabe | Gegeben sei das Quadrat ABDC der Seitenlänge a. Bestimme auf der Seite AB einen Punkt P derart, dass das Verhältnis der Volumina der Rotationskörper, die bei einer vollständigen Drehung des Trapezes PBCD um die Gerade AB bzw. um die Gerade AD entstehen, minimal wird.
Bestimme außerdem die Lage von P auf AB, die zu gleichen Volumina der beiden Körper führt. |
Aaalso ich üb gerade alte Abi-Aufgaben und bin auf diese gestoßen. Ich verstehe, dass das eine einfache Extremwertaufgabe ist, aber ich kann sie nicht aufstellen. Ich würde eigentlich einfach das Volumen der Rotationskörper in Abhängigkeit von der Lage von P bestimmen, und dann vom Verhältnis das Minimum suchen, aber: Was heißt denn eigentlich Verhältnis? Es steht ja nicht Differenz da, also wäre das irgendwie [mm] \bruch{V_{1}}{V_{2}} [/mm] , aber das kann nicht gefragt sein, denn: dann würde das Verhältnis kleiner, je kleiner [mm] V_{1} [/mm] und je größer [mm] V_{2} [/mm] wird, und genau das will man ja nicht rausbekommen, dann da werden [mm] V_{1} [/mm] und [mm] V_{2} [/mm] ja immer unterschiedlicher. Also ist vielleicht doch die Differenz gemeint?
Und was mich weiters irritiert: Man muss ja schon im ersten Teil der Aufgabe die Lage von P bestimmen, wo das Verhältnis minimal wird - wenn es möglich ist, dass beide das gleiche Volumen erreichen, kommt das dann doch da schon raus, dann wird der zweite Teil doch überflüssig? Und wenns beim ersten teil noch nicht rauskommt, wie solls beim zweiten plötzlich funktionieren?
Ich glaub ich interpretier das Ganze irgendwie falsch =/ Wär toll wenn mir jemand sagen könnte wie man das aufstellt, rechnen brauch ich sie dann nicht mehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 20.06.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
es geht um folgendes, wenn du das Trapez um AB rotieren lässt entsteht ein Körper mit einem Volumen und wenn du das Trapez um AD entsteht ein Körper mit anderem Volumen.
Die Volumina sind abhängig von der Lage von P.
1) Du musst jetzt gucken wie du P wählen musst das die Volumina minimal groß sind.
2) P muss so gewählt sein dass beide Volumina gleich groß sind.
Du musst in jedem Aufgaben Teil eine Lage von P bestimmen.
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
Also 1) ist mir noch unklar: stimmt das mit dem Bruch? Denn "dass die Volumina minimal groß sind" steht doch nirgends, es steht nur das "Verhältnis" (was immer das ist) muss minimal werden, und genau diese Angabe versteh ich nicht: denn die sagt mir, wenns ein Bruch ist, dass wenn Körper 1 sehr groß und Körper 2 ganz klein ist, das Verhätnis maximal ist, und wenn Körper 2 sehr groß ist und Körper 1 ganz klein, das Verhältnis minimal ist (und wenn ich das durchdenke, dann ist das irgendwie das gleiche und ich denke nicht, dass DAS gefragt ist)... Wenn ich [mm] V_{1} [/mm] und [mm] V_{2} [/mm] ausgerechnet habe in Abhängigkeit von P, wie stelle ich die Gleichung, deren Minimum ich bestimmen muss, denn dann auf?
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Hallo Valaina,
| Aufgabe | Gegeben sei das Quadrat ABDC der Seitenlänge a. Bestimme auf der Seite AB einen Punkt P derart, dass das Verhältnis der Volumina der Rotationskörper, die bei einer vollständigen Drehung des Trapezes PBCD um die Gerade AB bzw. um die Gerade AD entstehen, minimal wird.
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> Also 1) ist mir noch unklar: stimmt das mit dem Bruch? Denn
> "dass die Volumina minimal groß sind" steht doch nirgends,
> es steht nur das "Verhältnis" (was immer das ist) muss
> minimal werden, und genau diese Angabe versteh ich nicht:
berechne doch erst mal die beiden Volumina mit dem unbestimmten Punkt P auf AB und bilde danach ihr Verhältnis Q.
Ich habe nichts gerechnet, vermute aber, dass die Formel nicht zu kompliziert wird und nur noch von einer Variablen abhängt.
[mm] Q(..)=\bruch{V_1(..)}{V_2(..)} [/mm] ist dann deine Extremalbedingung.
> denn die sagt mir, wenns ein Bruch ist, dass wenn Körper 1
> sehr groß und Körper 2 ganz klein ist, das Verhätnis
> maximal ist, und wenn Körper 2 sehr groß ist und Körper 1
> ganz klein, das Verhältnis minimal ist (und wenn ich das
> durchdenke, dann ist das irgendwie das gleiche und ich
> denke nicht, dass DAS gefragt ist)... Wenn ich [mm]V_{1}[/mm] und
> [mm]V_{2}[/mm] ausgerechnet habe in Abhängigkeit von P, wie stelle
> ich die Gleichung, deren Minimum ich bestimmen muss, denn
> dann auf?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
Also ich glaub dir das jetzt einfach mal ^^" tut mir leid, aber ich hab das jetzt angefangen (nämlich mit Zylindern und Kegeln, nicht mit Integralen), bin bis zu
f(x) = [mm] \bruch{a^3*\pi-\bruch{1}{3}*a^2*\pi*x}{a^3*\pi-\bruch{1}{3}*x^2*\pi*a}
[/mm]
gekommen (was man noch mit [mm] a*\pi [/mm] kürzen kann), aber die ableitungen werden mir schier zu aufwendig. Die Nullstellen der ersten Ableitung bekomm ich noch raus, aber beim Einsetzen in die zweite Ableitung, das ist mir gerade einfach zu zeitaufwendig, hab noch so viele andre Sachen fürs Abi zu machen. Jedenfalls danke, ich glaub ich hab da vorher einfach falsch gedacht =) Wenn jemand Lust hat das fertig zu lösen dann kann er das gern machen, mir gings mehr um den Ansatz ^^
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