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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige folgendes mit Sandwich Lemma
[mm] a)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2+1}=1
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2-1}=1
[/mm]
[mm] c)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3-n^2+1}=1
[/mm]
[mm] d)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+2^n}=3
[/mm]
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n-2^n}=3 [/mm] |
[mm] a)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2+1}=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2+1}\le \wurzel[n]{n^3+n^3}=\wurzel[n]{2*n^3}=\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{n^3}=1*1=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2+1} \ge \wurzel[n]{n^3+\bruch{1}{4}n^3}=\wurzel[n]{\bruch{5}{4}n^3}=\wurzel[n]{\bruch{5}{4}}*\wurzel[n]{n^3}=1*1=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{\bruch{5}{4}n^3}\le \wurzel[n]{n^3+n^2+1}\le\wurzel[n]{2*n^3}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2+1}=1
[/mm]
______________________________________________________________
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2-1}=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2+1}\le \wurzel[n]{n^3+n^3}=\wurzel[n]{2*n^3}=\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{n^3}=1*1=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2+1} \ge \wurzel[n]{n^3}=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{\n^3}\le \wurzel[n]{n^3+n^2+1}\le\wurzel[n]{2*n^3}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2-1}=1
[/mm]
______________________________________________________________
[mm] c)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3-n^2+1}=1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3-n^2+1}\le \wurzel[n]{\bruch{3}{4}n^3}=\wurzel[n]{\bruch{3}{4}}*\wurzel[n]{n^3}= [/mm] 1*1=1
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2+1} \ge \wurzel[n]{\bruch{1}{4}n^3}=\wurzel[n]{\bruch{1}{4}}*\wurzel[n]{n^3}= [/mm] 1*1=1
[mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{4}n^3}\le \wurzel[n]{n^3-n^2+1}\le \wurzel[n]{\bruch{3}{4}n^3}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3-n^2+1}=1
[/mm]
______________________________________________________________
[mm] d)\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+2^n}=3
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3^n+2^n}\le \wurzel[n]{3^n+3^n}=\wurzel[n]{2*3^n}=\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{3^n}=1*3=3
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3^n+2^n}\ge \wurzel[n]{3^n}=3
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3^n}\le \wurzel[n]{3^n+2^n}\le \wurzel[n]{2*3^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+2^n}=3
[/mm]
______________________________________________________________
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n-2^n}=3
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{3^n+2^n}\le \wurzel[n]{3^n}=3
[/mm]
Hier finde ich keine sinnvolle Abschätzung nach oben...
Sind meine gewählte Abschätzungen bei den Beispielen soweit ok? Oder wenn nicht, wie kann ich es besser machen?
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke Diophant fürs korrigieren!!
Meine Abschätzung bei c) Ich bin mir mit dem Abschätzen immer noch nicht so sicher, was ich wie umformen darf und kann.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2-1}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2-1}\le \wurzel[n]{n^3}= [/mm] 1
[mm] \wurzel[n]{n^3+n^2-1}\ge \wurzel[n]{0.5*n^3}= [/mm] 1*1=1
Jetzt richtig? Mit er Aufgabe tue ich mich irgendwie schwer.
zu d) Das war auch erst meine erste Idee, allerdings konnte ich damit nicht zeigen, dass 3 als Grenzwert heraus kommt. Ich habe dafür keine passende Umformung gefunden. Vielleicht kannst du mir das nochmal erklären?
LG
heinze
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Hallo,
> Danke Diophant fürs korrigieren!!
>
> Meine Abschätzung bei c) Ich bin mir mit dem Abschätzen
> immer noch nicht so sicher, was ich wie umformen darf und
> kann.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3+n^2-1}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{n^3+n^2-1}\le \wurzel[n]{n^3}=[/mm] 1
Das ist offensichtlich falsch. Auch darfst du nicht einfach '=1' dahintersetzen, denn das ist ja der Grenzwert!
>
> [mm]\wurzel[n]{n^3+n^2-1}\ge \wurzel[n]{0.5*n^3}=[/mm] 1*1=1
>
Die wäre richtig, aber ist zu umständlich.
Ich würde die c) so abschätzen:
[mm] \sqrt[n]{n^3} \leq \sqrt[n]{n^3+n^2-1} \leq \sqrt[n]{2n^3}[/mm]
> Jetzt richtig? Mit er Aufgabe tue ich mich irgendwie
> schwer.
>
>
> zu d) Das war auch erst meine erste Idee, allerdings konnte
> ich damit nicht zeigen, dass 3 als Grenzwert heraus kommt.
Du meinst die e)?
> Ich habe dafür keine passende Umformung gefunden.
> Vielleicht kannst du mir das nochmal erklären?
Es ist
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{3^{n-1}}= \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3}}* \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{3^n}=1*3=3[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
Hier ist en Tippfehler, es muss richtig heißen: [mm] \wurzel[n]{n^3-n^2+1} [/mm] dann stimmen die Abschätzungen trotzdem oder?
Wieso ist am umständlich? ich sehe nicht wie es einfacher geht.
Ah ja, mit der e) ist logisch...das habe ich allerdings nicht erkannt! Danke fürs korrigieren!
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Hier ist en Tippfehler, es muss richtig heißen:
> [mm]\wurzel[n]{n^3-n^2+1}[/mm] dann stimmen die Abschätzungen
> trotzdem oder?
>
> Wieso ist am umständlich? ich sehe nicht wie es einfacher
> geht.
> Ah ja, mit der e) ist logisch...das habe ich allerdings
> nicht erkannt! Danke fürs korrigieren!
Gerne. Aber es wäre wirklich wünschenswert, wenn du beim Abfassen deiner Fragen etwas mehr Gründlichkeit walten lassen könntest. So achtest du noch nicht einmal auf die korrekte Verwendung der Aufgabenteil-Bezeichner.
Die Abschätzung
[mm] \sqrt[n]{0.5n^3} \leq \sqrt[n]{n^3+n^2-1}[/mm]
ist deshalb umständlich, weil es
[mm] \sqrt[n]{n^3} \leq \sqrt[n]{n^3+n^2-1}[/mm]
ebenfalls tut.
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
Ich hatte oben meine Aufgabe korrigiert! Glaube du hattest meine c) mit der b) verwechselt. Es muss heißen: [mm] \wurzel[n]{n^3-n^2+1}
[/mm]
Dann stimmen doch meine Grenzen oder?
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo heinze,
> Ich hatte oben meine Aufgabe korrigiert! Glaube du hattest
> meine c) mit der b) verwechselt.
Du bist ein Witzbold, wie es ausschaut. 
> Es muss heißen:
> [mm]\wurzel[n]{n^3-n^2+1}[/mm]
>
Da wär ich jetzt alleine nicht draufgekommen...
> Dann stimmen doch meine Grenzen oder?
Welche?
Bitte strenge dich mal ein wenig an, deine Fragen vernünftig zu stellen. Du erwartsest auch Gründlichkeit von denen, die antworten? Also fang du damit an!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 18.05.2013 | | Autor: | heinze |
für [mm] \wurzel[n]{n^3-n^2+1}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{0.5 n^3}\le \wurzel[n]{n^3-n^2+1}\le \wurzel[n]{n^3}
[/mm]
LG
heinze
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Hallo,
> für [mm]\wurzel[n]{n^3-n^2+1}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{0.5 n^3}\le \wurzel[n]{n^3-n^2+1}\le \wurzel[n]{n^3}[/mm]
>
Ja, so ergibt es Sinn. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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