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| Aufgabe | | Betrachten Sie in [mm] Mat(2,2,\IC) [/mm] den reellen Untervektorraum [mm] \IK=\IR\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\IR\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }+\IR\pmat{ -i & 0 \\ 0 & i }+\IR\pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 } [/mm] und zeigen Sie, das [mm] \IK [/mm] bezüglich der Matizenaddition/multiplikation ein Schiefkörper ist, aber kein Körper. Zeigen Sie danach, dass [mm] \IK= \IH [/mm] der Schiefkörper der Quaternionen ist. |
Also ich weiß das ein Schiefkörper mit einer endlichen anzahl von elementen zugleich ein normaler Körper ist. Der fragestellung nach zu urteilen, muss [mm] \IK [/mm] ja dann unendlich viele Elemente haben.
Ich weiß hier aber nicht wie ich das zeigen soll, vor allem was diese [mm] \IR [/mm] s da vor den Klammern sollen. Wie soll ich damit rechnen?
Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen
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> Betrachten Sie in [mm]Mat(2,2,\IC)[/mm] den reellen Untervektorraum
> [mm]\IK=\IR\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\IR\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }+\IR\pmat{ -i & 0 \\ 0 & i }+\IR\pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 }[/mm]
> und zeigen Sie, das [mm]\IK[/mm] bezüglich der
> Matizenaddition/multiplikation ein Schiefkörper ist, aber
> kein Körper. Zeigen Sie danach, dass [mm]\IK= \IH[/mm] der
> Schiefkörper der Quaternionen ist.
> Also ich weiß das ein Schiefkörper mit einer endlichen
> anzahl von elementen zugleich ein normaler Körper ist. Der
> fragestellung nach zu urteilen, muss [mm]\IK[/mm] ja dann unendlich
> viele Elemente haben.
> Ich weiß hier aber nicht wie ich das zeigen soll, vor
> allem was diese [mm]\IR[/mm] s da vor den Klammern sollen. Wie soll
> ich damit rechnen?
> Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen
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Hallo!
Ich denke du weißt unter welchen bedingungen eine gegebene Struktur ein Körper/Schiefkörper ist.
Du hast hier die Menge K gegeben und sollst überprüfen ob bezgl. der gewöhnlichen Matrixaddition und Multiplikation ein Schiefkörper vorliegt.
Obiges ist eine Möglichkeit eine Menge darzustellen. [mm] \IR [/mm] beduetet also dass hier Elemente stehen die die reellen Zahlen durchlaufen.
man könnte auch versuchen die menge anders darzustellen, dies tue ich mal, vielleicht hilft dir das weiter: [mm]\IK=\IR\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\IR\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }+\IR\pmat{ -i & 0 \\ 0 & i }+\IR\pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 }=\{a\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }+b\pmat{ 0 & -1\\ 1 & 0}+c\pmat{ -i & 0\\ 0 & i }+d\pmat{ 0 & -i\\ -i & 0} | a,b,c,d \in\IR \}[/mm] .
Nun versuche die einzelnen Bedinungen nachzuprüfen.
Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft nicht erfüllt ist, genügt es, zu zeigen, dass es für zwei bestimmte Elemente nicht erfüllt ist.
Schnapp dir also zwei Elemente aus deiner Menge und zeige dass diese nicht kommutativ sind bzgl. der gew. Matrixmultiplikation.
Wenn du weiterhin nicht zurecht kommst, frage einfach nochmal.
Grüße Elvis.
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