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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:23 Di 03.01.2012 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Gegeben sei das System
[mm] $x'=-x^3$
[/mm]
$y'=x-2y$.
Nun soll ich untersuchen, ob der Ursprung eine (asymptotisch) stabile Gleichgewichtslage ist. |
Hi!
Der Linearisierungsansatz hier liefert nichts, da ein Eigenwert der linearisierten Matrix 0 ist.
Weiterhin kann ich diese Lösungen auch nicht explizit Lösen. Für $x$ kommt zwar [mm] $\pm\frac{1}{\sqrt{2t+c}}$ [/mm] heraus, aber für die inhomogene lineare DGL für $y$ finde ich keine partikuläre Lösung.
Wie kann ich dennoch hier die (höchstwahrscheinlich vorliegende) asymptotische Stabilität finden?
Die Funktion $x$ läuft ja für [mm] $t\rightarrow\infty$ [/mm] gegen den Ursprung, was man natürlich auch bereits anhand der DGL ablesen könnte.
Die Funktion $y$ ist durch [mm] $y(t)=y_{part}(t)+ae^{-2t}$ [/mm] gelöst mit einer unbekannten partikulären Lösung [mm] $y_{part}$. [/mm] Wie kann ich nun zeigen, dass [mm] $y_{part}$ [/mm] auch gegen 0 geht?
Grüße, Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 05.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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