Stammfunktion/Integralfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mo 20.11.2017 | | Autor: | Paul88 |
Hallo zusammen,
kann man, unabhängig von der unterschiedlichen Definition der Funktionen und eine Unterscheidung über die Definitionen, anschaulich sagen, dass Stammfunktionen die Menge aller Integralfunktionen zu stetigen Funktionen f sind, oder habe ich dann irgendetwas nicht berücksichtigt?
Gruß
Paul88
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Hallo,
> kann man, unabhängig von der unterschiedlichen Definition
> der Funktionen und eine Unterscheidung über die
> Definitionen, anschaulich sagen, dass Stammfunktionen die
> Menge aller Integralfunktionen zu stetigen Funktionen f
> sind, oder habe ich dann irgendetwas nicht
> berücksichtigt?
solange die Integralfunktionen die übliche Form
[mm]J_1(x)= \int_{a}^{x}{f(t) dt}=F(x)-F(a)[/mm]
haben, ist deine Aussage offensichtlich korrekt. Ich sehe aber nicht so ganz, was der Erkenntnisgewinn dabei ist.
Nimm aber mal als Gegenbeispiel
[mm]J_2(x)= \int_{x}^{a}{f(t) dt}=F(a)-F(x)[/mm].
Hier ist die Integralfunktion keine Stammfunktion von f(x).
Gruß, Diophant
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Hiho,
> kann man, unabhängig von der unterschiedlichen Definition
> der Funktionen und eine Unterscheidung über die
> Definitionen, anschaulich sagen, dass Stammfunktionen die
> Menge aller Integralfunktionen zu stetigen Funktionen f
> sind
Das kommt darauf an, wie ihr Stammfunktion definiert habt.
> oder habe ich dann irgendetwas nicht berücksichtigt?
Ja, geht man beispielsweise nach der ![[]](/images/popup.gif) Stammfunktionsdefinition bei Wikipedia, dann ist eine Stammfunktion zu f eine differenzierbare Funktion F, so dass $F'=f$ gilt. Das ist meines Wissens auch die gängige Definition.
Nun ist $F(x) = [mm] \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x\not= 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ [/mm] offensichtlich eine Stammfunktion zu $f(x) = [mm] \begin{cases} 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$, [/mm] f ist nicht stetig und F lässt sich nicht als "Integralfunktionen zu [einer] stetigen Funktionen f" darstellen.
Gruß,
Gono
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