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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Do 10.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Es sei [mm] \varphi [/mm] gegeben durch folgende Integralgleichung.
[mm] \varphi(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy, \qquad 0\leq x\leq1,
[/mm]
wobei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] eine stetige Funktion mit [mm] f(\IR^2)\subseteq[0,1] [/mm] und [mm] \sqrt[3]{2}
Zeigen Sie: Es gibt eine Lösung [mm] \varphi\in [/mm] C([0,1]) |
Hallo,
der Dozent hat in der Vorlesung als Hinweis gesagt, man soll den Banachschen Fixpunktsatz auf eine geeignete Teilmenge von C([0,1]) anwenden.
Wie das gemeint ist erschließt sich mir leider nicht, aber ich konnte folgende Abschätzung beweisen, dass gilt [mm] c<\varphi\leq c+1/c^2, [/mm] da
[mm] \varphi(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy\leq c+\int_0^11*\frac{1}{c^2}dy=c+\left[y/c^2\right]^1_0=c+1/c^2.
[/mm]
Aber zu der Sache mit Banachs Fixpunktsatz fällt mir nichts weiter ein.
Kann mir bitte jemand helfen?
mfg,
pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 10.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Es sei [mm]\varphi[/mm] gegeben durch folgende Integralgleichung.
>
> [mm]\varphi(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy, \qquad 0\leq x\leq1,[/mm]
>
> wobei [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] eine stetige Funktion mit
> [mm]f(\IR^2)\subseteq[0,1][/mm] und [mm]\sqrt[3]{2}
>
> Zeigen Sie: Es gibt eine Lösung [mm]\varphi\in[/mm] C([0,1])
> Hallo,
>
> der Dozent hat in der Vorlesung als Hinweis gesagt, man
> soll den Banachschen Fixpunktsatz auf eine geeignete
> Teilmenge von C([0,1]) anwenden.
>
> Wie das gemeint ist erschließt sich mir leider nicht, aber
> ich konnte folgende Abschätzung beweisen, dass gilt
> [mm]c<\varphi\leq c+1/c^2,[/mm] da
>
> [mm]\varphi(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy\leq c+\int_0^11*\frac{1}{c^2}dy=c+\left[y/c^2\right]^1_0=c+1/c^2.[/mm]
>
> Aber zu der Sache mit Banachs Fixpunktsatz fällt mir
> nichts weiter ein.
> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> mfg,
> pyw
>
>
Der Ansatz scheint mir der zu sein:
Betrachte F: C([0,1]) -> C([0,1]), [mm] \phi\mapsto c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy
[/mm]
Gesucht ist ein Fixpunkt von F. Dazu müsste gezeigt werden, dass für [mm] \phi,\psi [/mm] aus der "geeigneten" Teilmenge von C([0,1]) gilt
[mm] \|F(\phi)-F(\psi)\|\le a*\|\phi-\psi\| [/mm] mit einer Konstanten a<1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 10.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für deine Bemühung mir zu helfen.
> Der Ansatz scheint mir der zu sein:
> Betrachte F: C([0,1]) -> C([0,1]), [mm]\phi\mapsto c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy[/mm]
Da steht auf der rechten Seite immer noch ein x, deswegen ist Abbildung leider nicht klar. Aber das ist es gerade, woran es bei mir scheitert. Ich weiß nicht, welche Abbildung ich am besten nehme
>
> Gesucht ist ein Fixpunkt von F. Dazu müsste gezeigt
> werden, dass für [mm]\phi,\psi[/mm] aus der "geeigneten" Teilmenge
> von C([0,1]) gilt
> [mm]\|F(\phi)-F(\psi)\|\le a*\|\phi-\psi\|[/mm] mit einer
> Konstanten a<1
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Do 10.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
>
> danke für deine Bemühung mir zu helfen.
> > Der Ansatz scheint mir der zu sein:
> > Betrachte F: C([0,1]) -> C([0,1]), [mm]\phi\mapsto c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy[/mm]
>
> Da steht auf der rechten Seite immer noch ein x, deswegen
> ist Abbildung leider nicht klar. Aber das ist es gerade,
> woran es bei mir scheitert. Ich weiß nicht, welche
> Abbildung ich am besten nehme
F soll ja eine Abbildung C([0,1]) -> C([0,1]) sein.
D.h. einer stetigen Funktion [mm] \phi:[0,1]\to\IR [/mm] wird wieder eine Funktion [mm] F(\phi):[0,1]\to\IR [/mm] zugeordnet.
> >
> > Gesucht ist ein Fixpunkt von F. Dazu müsste gezeigt
> > werden, dass für [mm]\phi,\psi[/mm] aus der "geeigneten" Teilmenge
> > von C([0,1]) gilt
> > [mm]\|F(\phi)-F(\psi)\|\le a*\|\phi-\psi\|[/mm] mit einer
> > Konstanten a<1
> >
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Do 10.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
hat noch jemand eine Idee?
Viele Grüße
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Hallo,
> Es sei [mm]\varphi[/mm] gegeben durch folgende Integralgleichung.
>
> [mm]\varphi(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy, \qquad 0\leq x\leq1,[/mm]
>
> wobei [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] eine stetige Funktion mit
> [mm]f(\IR^2)\subseteq[0,1][/mm] und [mm]\sqrt[3]{2}
donquijotes erster Tipp war schon gut.
Du hast gezeigt, dass [mm] f\geq [/mm] c für alle f, die die Integralgleichung erfüllen.
Nun betrachte
[mm] F:C([0,1])\to C([0,1]),\qquad (F\varphi)(x)=c+\int_0^1f(x,y)*\frac{1}{\varphi^2(y)}dy
[/mm]
auf [mm] M:=\{f\in C([0,1]): f\geq c\}. [/mm] Weise nach, dass M ein vollständiger metrischer Raum ist, um Banach's Fixpunktsatz anwenden zu können.
Rechne nach, dass F eine Kontraktion ist:
[mm] |F\varphi(x)-F\psi(x)|\leq\left|\int_0^1f(x,y)*\left(\frac{1}{\varphi^2(y)}-\frac{1}{\psi^2(y)}\right)dy\right|\leq\ldots
[/mm]
Zur Abschätzung von [mm] \frac{1}{\varphi^2(y)}-\frac{1}{\psi^2(y)} [/mm] kannst du den MWS auf die Funktion [mm] h(x)=x^{-2} [/mm] anwenden (und, dass Du nur M betrachtest anstatt C([0,1])). Gehe am Ende zur Supremumsnorm über.
Zeige schließlich, dass [mm] F\varphi [/mm] stetig sind für [mm] \varphi\in [/mm] M. Das geht zum Beispiel über das [mm] \varepsilon- \delta [/mm] Kriterium (bedenke k ist gleichmäßig stetig).
Der Rest folgt.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Fr 11.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> donquijotes erster Tipp war schon gut.
danke euch beiden. Damit schaffe ich es jetzt sicherlich.
Gruß
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