Stetigkeit in Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] für [mm] x^2+y^2>0
[/mm]
Für [mm] x^2+y^2=0 [/mm] ist der Funktionswert 0.
Zeigen Sie, dass f im Wert (0,0) nicht stetig ist. |
Hallo Leute,
habe erstmal die Ableitungen gebildet:
[mm] f_x(x,y)=y*\bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
und
[mm] f_y(x,y)=x*\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Für die Stetigkeit muss ja gelten:
[mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)
[/mm]
Wähle als [mm] x_n=\bruch{1}{n} [/mm] denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0
Das heißt ich habe einmal:
[mm] f_x(\bruch{1}{n},0)=0*\bruch{0^2-(\bruch{1}{n})^2}{((\bruch{1}{n})^2+0^2)^2}=0
[/mm]
und [mm] f_x(\bruch{1}{n},0)=f(0,0)=0
[/mm]
Sprich beides ist 0, da ich ja bei der ersten Gleichung sowieso 0 herausbekomme, da y=0.
Und für [mm] f_y(x,y) [/mm] kommt ja dann auch in beiden Fällen 0 heraus, warum ist die Funktion dann nicht stetig?
Muss ich das gleiche auch nochmal für:
[mm] f_x(0,\bruch{1}{n}) [/mm] und [mm] f_x(0,0)
[/mm]
machen?
Weil wenn das so wäre, dann ist es mir klar, denn:
[mm] f_x(0,\bruch{1}{n}) [/mm] = n
[mm] f_x(0,0)=0
[/mm]
Das eine läuft also gegen unendlich und das andere bleibt 0, deswegen nicht stetig in (0,0).
Müsste ich das also so auch noch betrachten?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 02.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für [mm]x^2+y^2>0[/mm]
>
> Für [mm]x^2+y^2=0[/mm] ist der Funktionswert 0.
>
> Zeigen Sie, dass f im Wert (0,0) nicht stetig ist.
> Hallo Leute,
>
> habe erstmal die Ableitungen gebildet:
Wozu??? Es geht doch darum, ob f in (0,0) stetig ist oder nicht !!!
>
> [mm]f_x(x,y)=y*\bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_y(x,y)=x*\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Für die Stetigkeit muss ja gelten:
>
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm]
>
> Wähle als [mm]x_n=\bruch{1}{n}[/mm] denn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0
>
> Das heißt ich habe einmal:
>
> [mm]f_x(\bruch{1}{n},0)=0*\bruch{0^2-(\bruch{1}{n})^2}{((\bruch{1}{n})^2+0^2)^2}=0[/mm]
>
> und [mm]f_x(\bruch{1}{n},0)=f(0,0)=0[/mm]
>
> Sprich beides ist 0, da ich ja bei der ersten Gleichung
> sowieso 0 herausbekomme, da y=0.
>
> Und für [mm]f_y(x,y)[/mm] kommt ja dann auch in beiden Fällen 0
> heraus, warum ist die Funktion dann nicht stetig?
>
> Muss ich das gleiche auch nochmal für:
>
> [mm]f_x(0,\bruch{1}{n})[/mm] und [mm]f_x(0,0)[/mm]
>
> machen?
>
> Weil wenn das so wäre, dann ist es mir klar, denn:
>
> [mm]f_x(0,\bruch{1}{n})[/mm] = n
>
> [mm]f_x(0,0)=0[/mm]
>
> Das eine läuft also gegen unendlich und das andere bleibt
> 0, deswegen nicht stetig in (0,0).
>
> Müsste ich das also so auch noch betrachten?
Die partiellen Ableitungen kannst Du vergessen !
Betrachte mal f(x,x) für x [mm] \ne [/mm] 0
FRED
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
Ach, ich Depp, es geht ja darum, dass die Funktion nicht stetig ist und nicht die Ableitung.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1}{n})^2}{2(\bruch{1}{n})^2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}, \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n})=f(0,0)=0
[/mm]
Und da 0 ungleich 0,5, ist das ganze nicht stetig.
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 02.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ach, ich Depp, es geht ja darum, dass die Funktion nicht
> stetig ist und nicht die Ableitung.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1}{n})^2}{2(\bruch{1}{n})^2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}, \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n})=f(0,0)=0[/mm]
>
> Und da 0 ungleich 0,5, ist das ganze nicht stetig.
>
> Ist das so korrekt?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
Ok, danke!
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