Stetigkeite bei f(x,y) < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 09.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Folgende Funktion soll auf Stetigkeit geprüft werden
f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2+1}-1}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 2, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases} |
Hallo zusammen,
unser Professor hat uns das folgendermaßen erklärt:
Beweis:
Es sind x_k und y_k belibige Punktfolgen mit \limes_{k\rightarrow\infty}(x_k, y_k)=(0,0)
Zu Zeigen \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)=2
$ \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)= \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x_k^2+y_k^2}{\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1}\ \ =\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\left(x_k^2+y_k^2 \right)\cdot{} \left( \wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)}{\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1\right)\cdot{}\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)} =\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\left(x_k^2+y_k^2 \right)\cdot{} \left( \wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)}{x_k^2+y_k^2+1-1 $
$ = \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right) = 1+1 = 2 $
Demnach ist die Funktion für alle Punktfolgen Stetig im Punkt (0,0)
Mein Frage nun ist, kann ich einer Funktion wie sie oben steht irgendwie schon ansehen, das diese Stetig sein könnte oder nicht?
Ich frage deswegen weil unser Prof uns ein anderes verfahren gezeigt hat um Nicht-Stetigkeit zu Besweisen.
Und wenn ich der Klausur den Falschen Ansatz wähle, dann bekomme ich Null Punkte für die arbeit die ich mir gemacht habe.
Eine weiter Frage ist, ob ich mit diesen verfahren nicht auch Nicht-Stetigkeit Beweisen kann, den dann könnte ich garnicht falsch anfangen.
Der Beweis für Nicht-Stetigkeit wäre übrigens das aufsuchen einer bestimmten Punktfolge für die die Funktion am zu prüfenden Punkt nicht stetig ist.
Gruß und danke
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> Folgende Funktion soll auf Stetigkeit geprüft werden
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> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2+1}-1}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 2, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> unser Professor hat uns das folgendermaßen erklärt:
>
> Beweis:
> Es sind [mm]x_k[/mm] und [mm]y_k[/mm] beliebige Punktfolgen mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(x_k, y_k)=(0,0)[/mm]
>
> Zu Zeigen [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)=2[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)= \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x_k^2+y_k^2}{\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1}\ \red{ =\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{x_k^2+y_k^2}{x_k+y_k}\ =\ 2}[/mm]
>
> Demnach ist die Funktion für alle Punktfolgen Stetig im
> Punkt (0,0)
Nur mal zu diesem angeblichen "Beweis":
Die rot markierten Teile sind falsch und mir nicht
erklärlich. Um diesen Limes zu bestimmen, müsste
man den vorangehenden Term mit [mm] \left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)
[/mm]
erweitern. Ich erhalte dann als Grenzwert allerdings
nicht 2, sondern 1 . ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Korrektur: Sorry, das war ein Versehen.
Es gibt natürlich 2 !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 09.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
> > Folgende Funktion soll auf Stetigkeit geprüft werden
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2+1}-1}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 2, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen,
> > unser Professor hat uns das folgendermaßen erklärt:
> >
> > Beweis:
> > Es sind [mm]x_k[/mm] und [mm]y_k[/mm] beliebige Punktfolgen mit
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(x_k, y_k)=(0,0)[/mm]
> >
> > Zu Zeigen [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)=2[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)= \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x_k^2+y_k^2}{\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1}\ \red{ =\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{x_k^2+y_k^2}{x_k+y_k}\ =\ 2}[/mm]
>
> >
> > Demnach ist die Funktion für alle Punktfolgen Stetig im
> > Punkt (0,0)
>
>
> Nur mal zu diesem angeblichen "Beweis":
>
> Die rot markierten Teile sind falsch und mir nicht
> erklärlich. Um diesen Limes zu bestimmen, müsste
> man den vorangehenden Term mit
> [mm]\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)[/mm]
> erweitern. Ich erhalte dann als Grenzwert allerdings
> nicht 2, sondern 1 .
>
>
> LG Al-Chw.
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Die Funktion soll aber Stetig sein ...
Kann sein das ich mich verrechnet habe... Dann war das ein Blödes Bespiel.
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Siehe meine Mitteilung...
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> > Folgende Funktion soll auf Stetigkeit geprüft werden
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2+1}-1}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 2, & \mbox{für } x=y=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen,
> > unser Professor hat uns das folgendermaßen erklärt:
> >
> > Beweis:
> > Es sind [mm]x_k[/mm] und [mm]y_k[/mm] beliebige Punktfolgen mit
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(x_k, y_k)=(0,0)[/mm]
> >
> > Zu Zeigen [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)=2[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k, y_k)= \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x_k^2+y_k^2}{\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1}\ \red{
=\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\left(x_k^2+y_k^2 \right)* \left( \wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)}{\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}-1\right)*\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)}
=\ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\left(x_k^2+y_k^2 \right)* \left( \wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)}{x_k^2+y_k^2+1-1} [/mm]
[mm]\red{= \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right) = 1+1 = 2}[/mm]
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> >
> > Demnach ist die Funktion für alle Punktfolgen Stetig im
> > Punkt (0,0)
>
>
> Nur mal zu diesem angeblichen "Beweis":
>
> Die rot markierten Teile sind falsch und mir nicht
> erklärlich. Um diesen Limes zu bestimmen, müsste
> man den vorangehenden Term mit
> [mm]\left(\wurzel{x_k^2+y_k^2+1}+1\right)[/mm]
> erweitern. Ich erhalte dann als Grenzwert allerdings
> nicht 2, sondern 1 .
>
Die Zwischenschritte lassen sich damit allerdings nicht erklären. Das hat der Prof wohl anders gemacht.
> LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 09.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Besten dank, dann gibt es diese Aufgabe nun auch einmal Richtig in meinen Unterlagen.
Aber nun noch bitte zu meinen Fragen
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"Es gibt Augenblicke, in denen man nicht nur sehen, sondern ein Auge zudrücken muss" (Benjamin Franklin)
"Sehen" kann man das m.E. nicht (außer diese hyperschlauen Menschen, die schon drei Trillionen dieser Funktionen angeschaut haben und das sofort wissen natürlich).
Was ich machen würde: erstmal ein paar Werte aus der Nähe der zu untersuchenden Stelle in die Funktionsgleichung einsetzen und mal schauen, was passiert (bzw. zeichnen lassen, falls das möglich ist). Dann würde ich mit ein paar Standardfolgen wie [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und ähnlichem probieren, was dann mit der Funktion passiert.
Damit habe ich hoffentlich die richtige Entscheidung getroffen und begebe mich an den Nachweis...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 09.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Mit anderen Worten ich muss Raten... Hilfmittel sind in der Klausur leider nicht erlaubt.
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Naja, wenn man es direkt "sehen" könnte (fundiert, nicht geraten), warum müsste man dann noch den aufwändigen Formalismus aufschreiben?
Wie gesagt - da macht ganz viel die Erfahrung aus. Je mehr Beispiel-Funktionen du schon analysiert hast, umso besser kannst du "erahnen", was passieren wird, wenn du dir eine "neue" anschaust.
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> Mit anderen Worten ich muss Raten...
Hallo,
nein, als "raten" würde ich das, was weightgainer schildert, nicht bezeichnen, sondern als "einen Eindruck verschaffen".
Es ist alles leichter, wenn man schonmal eine Ahnung davon hat, ob man lieber beweisen oder widerlegen möchte.
> Hilfmittel sind in der
> Klausur leider nicht erlaubt.
Dann sind die Aufgaben so gestellt, daß Du keine brauchst.
Ein paar Standard"tricks" , wie die hier verwendete dritte binomische Formel, sollte man immer im Gepäck haben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 09.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Okay, weiß ich bescheid, danke euch allen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit Polarkoordinaten gehts ganz einfach:
$x = rcos(t), y= rsin(t)$
Dann:
$f(x,y) = [mm] \bruch{r^2}{\wurzel{r^2+1}-1}$
[/mm]
Erweitert man mit [mm] $\wurzel{r^2+1}+1$, [/mm] so ergibt sich:
$f(x,y) [mm] =\wurzel{r^2+1}+1$,
[/mm]
also
$f(x,y) [mm] \to [/mm] 2$ für $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$
FRED
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