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| Aufgabe | Im Dreieck ABC (siehe http://img412.imageshack.us/img412/1981/dreieck.png ) teilt der Punkt E die Strecke AB im Verhältnis 2:1. Punkt D ist Mittelpunkt von BC und Punkt S teilt AD im Verhältnis 2:3
a) Wähle geeignete Basisvektoren und stelle die Vektoren AD, AT, ET durch diese dar.
b) In welchem Verhältnis teilt der Punkt T die Strecke AC, d.h. wie groß ist t = [mm] \bruch{AT}{TC} [/mm] ? |
Hallo,
ich bräuchte etwas Hilfe bei der Aufgabe. Bei a) kann ich mir nicht genau vorstellen, was mit "geeigneten Basisvektoren" gemeint ist. Es sind ja lediglich einige Verhältnisse der Seiten im Dreieck angegeben, wie man hier Basisvektoren wählen soll und Strecken dann damit darstellt, ist mir unklar.
Ich nehme mal an, wenn man die Aufgabe hat, lässt sich b) auch recht schnell lösen. Für den Anfang würde es mir helfen, wenn mir jemand die Aufgabenstellung a) erklären könnte.
Danke im Voraus.
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> Im Dreieck ABC (siehe
> http://img412.imageshack.us/img412/1981/dreieck.png ) teilt
> der Punkt E die Strecke AB im Verhältnis 2:1. Punkt D ist
> Mittelpunkt von BC und Punkt S teilt AD im Verhältnis 2:3
> a) Wähle geeignete Basisvektoren und stelle die Vektoren
> AD, AT, ET durch diese dar.
> b) In welchem Verhältnis teilt der Punkt T die Strecke
> AC, d.h. wie groß ist t = [mm]\bruch{AT}{TC}[/mm] ?
> Hallo,
> ich bräuchte etwas Hilfe bei der Aufgabe. Bei a) kann ich
> mir nicht genau vorstellen, was mit "geeigneten
> Basisvektoren" gemeint ist. Es sind ja lediglich einige
> Verhältnisse der Seiten im Dreieck angegeben, wie man hier
> Basisvektoren wählen soll und Strecken dann damit
> darstellt, ist mir unklar.
Bei dieser und ähnlichen Aufgaben kann man als Basisvek-
toren einfach zwei Seitenvektoren des zugrundeliegenden
Dreiecks wählen; hier etwa [mm] $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ [/mm] .
Dann hat man
[mm] $\overrightarrow{BC}=\vec{v}-\vec{u},\quad \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}\ [/mm] =\ ....$
[mm] $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\,\vec{u}$ [/mm] , etc.
> Ich nehme mal an, wenn man die Aufgabe hat, lässt sich b)
> auch recht schnell lösen. Für den Anfang würde es mir
> helfen, wenn mir jemand die Aufgabenstellung a) erklären
> könnte.
> Danke im Voraus.
LG
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Ok, danke schon mal.
Mir ist aber immer noch nicht klar, wie man [mm] \overrightarrow{AT} [/mm] und [mm] \overrightarrow{ET} [/mm] darstellen soll. Nach dem ich paar andere Vektoren ausgerechnet habe, kam ich auf
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \overrightarrow{u} [/mm] + [mm] \overrightarrow{v}
[/mm]
Aber mir ist nicht klar, wie ich an T rankommen soll, da ja kein Verhältnis und nichts über diese Strecken angegeben ist. Ich habe schon versucht, mit einer geschlossenen Kette zu rechnen (zB AT + TC + BC - u ) um dann zu berechnen, in welchem Verhältnis AC geteilt wird, da komme ich aber nur auf r = -s + 1 (r = Anteil AT, s = Anteil TC)
Auch mit mehreren Gleichungen im Gleichungssystem, aber immer gab es mehr Unbekannte als Gleichungen...
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> Ok, danke schon mal.
> Mir ist aber immer noch nicht klar, wie man
> [mm]\overrightarrow{AT}[/mm] und [mm]\overrightarrow{ET}[/mm] darstellen
> soll. Nach dem ich paar andere Vektoren ausgerechnet habe,
> kam ich auf
> [mm]\overrightarrow{AD}=\bruch{1}{2} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht ganz. Auch [mm] \overrightarrow{v} [/mm] müsste den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dabei haben.
> Aber mir ist nicht klar, wie ich an T rankommen soll, da
> ja kein Verhältnis und nichts über diese Strecken
> angegeben ist. Ich habe schon versucht, mit einer
> geschlossenen Kette zu rechnen (zB AT + TC + BC - u ) um
> dann zu berechnen, in welchem Verhältnis AC geteilt wird,
> da komme ich aber nur auf r = -s + 1 (r = Anteil AT, s =
> Anteil TC)
Bevor du "an T kommen" kannst, brauchst du zuerst S.
Das ist einfach, weil
[mm] $\overrightarrow{AS}\ [/mm] =\ [mm] \frac{2}{5}\,\overrightarrow{AD}$
[/mm]
Nachher kannst du noch [mm] \overrightarrow{SE} [/mm] als Linearkombination von
u und v schreiben.
Setze dann z.B. [mm] \overrightarrow{AT}=x*\overrightarrow{v} [/mm] und [mm] \overrightarrow{TS}=y*\overrightarrow{SE}
[/mm]
Es muss dann gelten:
[mm] $\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{AS}$
[/mm]
Aus dieser einen vektoriellen Gleichung ergeben sich
dann (indem man die lineare Unabhängigkeit von [mm] \overrightarrow{u} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v}
[/mm]
benützt) zwei skalare Gleichungen für x und y .
LG Al-Chw.
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> Das stimmt nicht ganz. Auch $ [mm] \overrightarrow{v} [/mm] $ müsste den Faktor $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ dabei haben.
Ja, den hab ich wohl beim Abtippen vergessen.
Ok danke, den Rest habe ich verstanden. b) erklärt sich von selbst.
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