Taylorpolynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom von [mm] $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] um Null und bestimmen Sie damit
[mm] $\lim_{x \rightarrow 0}(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{\frac{1}{x}}$.
[/mm]
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Hallo,
das Taylorpolynom habe ich um Null entwickelt und dabei erhalten:
$f(x) = 1 + [mm] \frac{1}{2}x [/mm] + [mm] R_1(x) [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2}x [/mm] + [mm] \frac{1}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\xi}}x^2$.
[/mm]
Wie hilft mir das jetzt den Grenzwert zu berechnen?
Gruß,
Palonina
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> Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom von
> [mm](1+x)^{\frac{1}{2}}[/mm] um Null und bestimmen Sie damit
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0}(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{\frac{1}{x}}[/mm].
>
> Hallo,
>
> das Taylorpolynom habe ich um Null entwickelt und dabei
> erhalten:
>
> [mm]f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + R_1(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\frac{1}{\sqrt{1+\xi}}x^2[/mm].
>
> Wie hilft mir das jetzt den Grenzwert zu berechnen?
Hallo Palonina,
Dein Taylorpolynom (lineare Funktion) ist richtig,
das Restglied nicht.
Wie man dies für die Grenzwertrechnung einsetzen
soll, sehe ich im Moment auch nicht. Den Grenzwert
könnte man jedoch auf anderem Weg ermitteln:
1.) Substitution [mm] \wurzel{\bruch{1}{x}}=w [/mm] (und dann [mm] w\to \infty [/mm] streben lassen)
2.) Den Term nach dem Muster [mm] v-w=\bruch{v^2-w^2}{v+w} [/mm] erweitern
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 13.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Ups, du hast recht, mein Restglied muss [mm] $R_1(x) [/mm] =- [mm] \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}x^2 [/mm] $ heißen.
Ich habe den Term mal mit Hilfe der 3. Binomischen Formel erweitert und versucht, hierfür den Limes zu bilden, kam da aber nicht weiter. Dann habe ich es mit Bernoulli- L'Hospital versucht, aber abgesehen davon, dass die Ableitung des Bruches ziemlich wüst war und sich danach der Grenzwert immer noch nicht bilden ließ, war ich mir nicht sicher, ob ich den Satz überhaupt anwenden darf. Denn Voraussetzung ist ja, das f(x) in der Umgebung von 0 definiert ist.
Hat vielleicht noch einer eine Idee, wie ich den Limes mit dem Taylorpolynom berechnen kann?
Palonina
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Hallo Palonina,
ich bin sonst ganz findig beim Umformen, aber ich finde keine Form Deines Terms, für die Dir das Taylorpolynom irgendetwas nützen würde.
Dafür finde ich etwas anderes:
[mm] \sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}*\blue{\bruch{x}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}}=\bruch{\wurzel{\wurzel{x}+1}-1}{\wurzel{x}}*\blue{\bruch{\wurzel{\wurzel{x}+1}+1}{\wurzel{\wurzel{x}+1}+1}}=\bruch{\wurzel{x}+1-1}{\wurzel{x}(\wurzel{\wurzel{x}+1}+1)}=\bruch{1}{\wurzel{\wurzel{x}+1}+1}
[/mm]
...und das hat ja einen klaren Grenzwert für [mm] x\rightarrow0.
[/mm]
lg,
reverend
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> Ups, du hast recht, mein Restglied muss [mm]R_1(x) =- \frac{1}{\red{4}}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}x^2[/mm]
> heißen.
ich denke, da müsste eine 8 stehen ...
> Ich habe den Term mal mit Hilfe der 3. Binomischen Formel
> erweitert und versucht, hierfür den Limes zu bilden, kam da
> aber nicht weiter.
Hallo Palonina,
mein Vorschlag mit der Substitution und der
dritten binomischen Formel ginge so:
[mm] $\limes_{x\downarrow{0}}\left(\wurzel{\bruch{1}{x}+\wurzel{\bruch{1}{x}}}-\wurzel{\bruch{1}{x}}\right)$ $\wurzel{\bruch{1}{x}}=w$
[/mm]
$\ [mm] =\limes_{w\to\infty}\left(\wurzel{w^2+w}-w\right)$
[/mm]
$\ [mm] =\limes_{w\to\infty}\bruch{w^2+w-w^2}{\wurzel{w^2+w}+w}$
[/mm]
$\ [mm] =\limes_{w\to\infty}\bruch{w}{\wurzel{w^2+w}+w}$
[/mm]
$\ [mm] =\limes_{w\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{w}}+1}$
[/mm]
$\ [mm] =\bruch{1}{2}$
[/mm]
> Hat vielleicht noch einer eine Idee, wie ich den Limes mit
> dem Taylorpolynom berechnen kann?
So eine Möglichkeit sehe ich immer noch nicht.
Es kommen in dem Term, wenigstens so wie er da
steht, gar keine Ausdrücke der Form [mm] \wurzel{1+x} [/mm] vor.
Gruß Al-Chw.
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom
von [mm] $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] um Null und bestimmen Sie damit
[mm] $\lim_{x \rightarrow 0}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)$
[/mm]
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Hallo Palonina,
ich habe es nochmals mit Taylor versucht. So geht's:
Zuerst [mm] \wurzel{\bruch{1}{x}}=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] ausklammern:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{x}}\left(\wurzel{1+\sqrt{x}}-1\right)$
[/mm]
Jetzt substituieren: [mm] \sqrt{x}=u
[/mm]
Dann den Ausdruck [mm] \wurzel{1+u} [/mm] mit Taylor entwickeln.
Der Rest sollte klar sein.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Di 13.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ah, Lob, Lob!
Das haben wir doch gesucht...
Und nun hast Du es gefunden, wie schön!
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> Ah, Lob, Lob!
> Das haben wir doch gesucht...
> Und nun hast Du es gefunden, wie schön!
Gut, danke, aber übertreib es nicht:
so schwierig war es eigentlich doch
nicht, denn Ausdrücke der Form [mm] \wurzel{A+B}
[/mm]
kamen ja doch vor. Um davon ausgehend
zu einem Term der Form [mm] \wurzel{1+irgendwas} [/mm]
zu kommen, muss man nur entweder [mm] \wurzel{A} [/mm]
oder [mm] \wurzel{B} [/mm] ausklammern:
[mm] $\wurzel{A+B}=\wurzel{A}*\wurzel{1+\bruch{B}{A}}$
[/mm]
oder:
[mm] $\wurzel{A+B}=\wurzel{B}*\wurzel{1+\bruch{A}{B}}$
[/mm]
Gute Nacht bzw. einen guten neuen Tag !
Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 13.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich habe Nenner rational machen, erweitern etc. und bin ich jetzt auch auf den Grenzwert [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] gekommen.
Für das Taylor-Polynom erhalte ich mit deinem Ansatz:
$ [mm] \frac{1}{u} (\sqrt{1+u}-1) [/mm] $
[mm] $=\frac{1}{u} [/mm] (1 + [mm] \frac{1}{2}u [/mm] - [mm] \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}u^2 [/mm] -1)$.
(Kann ich denn das Taylorpolynom auch für einen Teil des Terms einsetzen?)
$ [mm] =\frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}u^$
[/mm]
und so [mm] $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{2}\sqrt{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}\sqrt{x}^$ [/mm] = [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Ist das ok so?
Viele Grüße und schönen Abend,
Palonina
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> ich habe den Nenner rational gemacht, erweitert
> etc. und bin jetzt auch auf den Grenzwert [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> gekommen.
>
> Für das Taylor-Polynom erhalte ich mit deinem Ansatz:
>
> [mm]\frac{1}{u} (\sqrt{1+u}-1)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{u} (1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{\red{4}}\frac{1}{\sqrt{(1+\xi)^3}}u^2 -1)[/mm].
>
> (Kann ich denn das Taylorpolynom auch für einen Teil des
> Terms einsetzen?)
Guten Abend Palonina,
natürlich ist dies möglich. Ich finde es aber fast
übersichtlicher, anstelle des Restglieds noch ein,
zwei weitere Glieder der Taylorreihe hinzuschreiben
und die "Pünktchen-Schreibweise" ohne den
komplizierten Restglied-Term zu verwenden:
[mm] $\sqrt{1+u}\ [/mm] =\ [mm] 1+\bruch{u}{2}-\bruch{u^2}{8}+\,.....$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{u}*(\sqrt{1+u}-1)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{u}*\left((1 + \frac{1}{2}\,u - \frac{1}{8}\,u^2+\,.....)-1\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \frac{1}{u}*\left(\frac{1}{2}\,u - \frac{1}{8}\,u^2+\,.....\right)$ [/mm]
$\ =\ [mm] \frac{1}{2}\, [/mm] - [mm] \frac{1}{8}\,u+\,.....$
[/mm]
Nun ist offensichtlich (weil nur noch Glieder mit
höheren Exponenten von u folgen), dass der Grenzwert
für u gegen Null gleich [mm] \frac{1}{2} [/mm] sein muss.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chw.
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