Taylorreihe/Identitätssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich bearbeite gerade einiges Fragen eines Prüfungsprotokolls und habe leider einige Unklarheiten....:-(.
1. Frage: " Seien [mm] f,g : \mathbb C \to \mathbb C [/mm] und es gelte
g(x) = f(x) für alle [mm] x \in \mathbb R [/mm].
Was können sie über die Funktionswerte auf ganz [mm] \mathbb C [/mm] sagen ? "
Antwort: Stimmen auf ganz [mm] \mathbb C [/mm] übeein.Begründung ist Identitätssatz. Es leuchtet mir zwar ein, aber es ist mir unklar, warum genau.. Die Funktionen stimmen auf [mm] \mathbb R [/mm] überein und nicht auf den komplexen Zahlen...
2. Frage: " Dann haben f und g auch die gleich Taylorreihe .Können Sie zeigen, dass die ersten beiden Summanden übereinstimmen? "
Also Taylor-Entwicklung um 0. Dass [mm] f(0) = g(0) [/mm] ist vorausgesetzt. Nur ich weiß nicht wie?
3. Frage: "Was ist wenn f(x) = g(x) nur für alle [mm] x \in \mathbb Z [/mm] übereinstimmen ?"
Antwort: Dies funktioniert nicht mit dem Identitätssatz. Das Gegenbeispiel ist wohl f(x) = 0 und [mm] g(x) = \sin( \pi x ) [/mm].
Warum gilt der Identitätssatz nicht und was hat es mit Beispiel auf sich?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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> Guten Abend!
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> Ich bearbeite gerade einiges Fragen eines
> Prüfungsprotokolls und habe leider einige
> Unklarheiten....:-(.
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> 1. Frage: " Seien [mm]f,g : \mathbb C \to \mathbb C[/mm] und es
> gelte
> g(x) = f(x) für alle [mm]x \in \mathbb R [/mm].
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> Was können sie über die Funktionswerte
> auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] sagen ? "
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> Antwort: Stimmen auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] übeein.Begründung ist
> Identitätssatz. Es leuchtet mir zwar ein, aber es ist mir
> unklar, warum genau.. Die Funktionen stimmen auf [mm]\mathbb R[/mm]
> überein und nicht auf den komplexen Zahlen...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nimm f(z) = z und g(z) = [mm] \overline{z} [/mm] (konj. komplex)
Beide stimmen auf [mm] \IR [/mm] überein, sonst aber nirgends. Welche Zusatzbedingung(en) müssen an f und g gestellt werden?
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> 2. Frage: " Dann haben f und g auch die gleich Taylorreihe
> .Können Sie zeigen, dass die ersten beiden Summanden
> übereinstimmen? "
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> Also Taylor-Entwicklung um 0. Dass [mm]f(0) = g(0)[/mm] ist
> vorausgesetzt. Nur ich weiß nicht wie?
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> 3. Frage: "Was ist wenn f(x) = g(x) nur für alle [mm]x \in \mathbb Z[/mm]
> übereinstimmen ?"
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> Antwort: Dies funktioniert nicht mit dem Identitätssatz.
> Das Gegenbeispiel ist wohl f(x) = 0 und [mm]g(x) = \sin( \pi x ) [/mm].
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> Warum gilt der Identitätssatz nicht und was hat es mit
> Beispiel auf sich?
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> Vielen Dank!
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 So 10.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
> > Guten Abend!
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> > Ich bearbeite gerade einiges Fragen eines
> > Prüfungsprotokolls und habe leider einige
> > Unklarheiten....:-(.
> >
> > 1. Frage: " Seien [mm]f,g : \mathbb C \to \mathbb C[/mm] und es
> > gelte
> > g(x) = f(x) für alle [mm]x \in \mathbb R [/mm].
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> > Was können sie über die Funktionswerte
> > auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] sagen ? "
> >
> > Antwort: Stimmen auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] übeein.Begründung ist
> > Identitätssatz. Es leuchtet mir zwar ein, aber es ist mir
> > unklar, warum genau.. Die Funktionen stimmen auf [mm]\mathbb R[/mm]
> > überein und nicht auf den komplexen Zahlen...
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> Nimm f(z) = z und g(z) = [mm]\overline{z}[/mm] (konj. komplex)
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> Beide stimmen auf [mm]\IR[/mm] überein, sonst aber nirgends. Welche
> Zusatzbedingung(en) müssen an f und g gestellt werden?
>
Dass die Fuktionen auf einem Gebiet definiert sein müssen und vor allem holomorph?
Das würde bei deinem Beispiel nicht fuktionieren, denn g(z) = [mm]\overline{z}[/mm] ist nicht komplex differenzierbar....
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> > 2. Frage: " Dann haben f und g auch die gleich Taylorreihe
> > .Können Sie zeigen, dass die ersten beiden Summanden
> > übereinstimmen? "
> >
> > Also Taylor-Entwicklung um 0. Dass [mm]f(0) = g(0)[/mm] ist
> > vorausgesetzt. Nur ich weiß nicht wie?
> >
> >
> > 3. Frage: "Was ist wenn f(x) = g(x) nur für alle [mm]x \in \mathbb Z[/mm]
> > übereinstimmen ?"
> >
> > Antwort: Dies funktioniert nicht mit dem Identitätssatz.
> > Das Gegenbeispiel ist wohl f(x) = 0 und [mm]g(x) = \sin( \pi x ) [/mm].
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> > Warum gilt der Identitätssatz nicht und was hat es mit
> > Beispiel auf sich?
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> >
> > Vielen Dank!
> > Viele Grüße
> > Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 11.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Ich nehme mal an, dass war eine Frage aus dem Gebiet Funktionentheorie und daher sind alle Funktionen als holomorph vorausgesetzt. Da die frage nach den Funktionswerten auf ganz [mm] $\mathbb [/mm] C$ gestellt wurde nehme ich mal weiter an, dass alle Funktionen ganz sind. Wenn sie nur auf einem Gebiet definiert sind, macht das keinen Unterschied.
Der Identitätssatz sagt nun:
Wenn zwei holomorphe Funktionen, auf einem offenen zusammenhängenden Gebiet $X$ (hier [mm] $X=\mathbb [/mm] C$) definiert sind und auf einer Menge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in $X$ hat, dann sind sie auf ganz $X$ gleich.
Nun zur ersten Frage:
[mm] $\mathbb [/mm] R$ hat einen (sogar unendlich viele Häufungspunkte in [mm] $\mathbb [/mm] C$. Also ist der Satz anwendbar.
Zur dritten Frage:
[mm] $\mathbb [/mm] Z$ hat keinen Häufungspunkt in [mm] $\mathbb [/mm] C$, also nicht anwendbar, und tatsächlich gibt es das von dir erwähnte Gegenbeispiel.
Was eine gute Antwort auf die zweite Frage ist, ist nicht so klar. Ich würde etwas in Richtung des Beweises des Identitätssatzes versuchen:
1.) $f(0)=g(0)$ also 0. Koeffizient gleich.
2.) 1. Koeffizient(f) $=(lim ((f(z)-f(0))/z)=lim ((g(z)-g(0))/z)=$1. Koeff. von g.
(limes über z= reelle Zahlen, die gegen 0 gehen.
3.)usw.
Ich hoffe das war nicht zu knapp. Solche Dinge sollten allerdings in einem beliebigen buch über Funktionentheorie stehen.
Gruß
Peter
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