Transponierte Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante und alle 9 Kofaktoren von A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 }
[/mm]
Bilden Sie die 3 x 3 Matrix T, deren i,j-Eintrag der Kofaktor [mm] A_{ji} [/mm] ist. Verifizieren Sie, dass AT = (det A)I. Berechnen Sie [mm] A^{-1}. [/mm] |
Hallo!
Bräuchte mal einen kleinen Anstoß zum letzten Teil dieser Aufgabe. Weiß nicht, ob ich richtig liege. Das T in der Aufgabenstellung steht doch für die transponierte Matrix oder? Es ist auf meinem Blatt nämlich kein richtiges T, sondern nur ein halbes und ich kenne diesen Zeichen nicht...
So... dann fang ich mal an.
det A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 } [/mm] = 20
Die Rechenschritte brauche ich hier ja jetzt nicht aufzuführen.
Die 9 Kofaktoren sind:
[mm] A_{1,1} [/mm] = 20
[mm] A_{1,2} [/mm] = 0
[mm] A_{1,3} [/mm] = 0
[mm] A_{2,1} [/mm] = -10
[mm] A_{2,2} [/mm] = 5
[mm] A_{2,3} [/mm] = 0
[mm] A_{3,1} [/mm] = 12
[mm] A_{3,2} [/mm] = 0
[mm] A_{3,3} [/mm] = 4
Dann weiß ich nicht, ob ichs richtig verstanden habe, aber die 3 x 3 Matrix T müsste sein: AT = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 }
[/mm]
So und dann komm ich nicht so recht weiter.
AT = (det A)I
AT ist also meine transponierte Matrix?? Stimmt das? Und I ist meine inverse Matrix. Das Produkt aus det A und meiner inversen Matrix ist also meine transponierte Matrix? Klingt ja eigentlich logisch, aber ich bin mir nicht ganz sicher.
Wie berechnet man [mm] A^{-1}?
[/mm]
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 17.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Berechnen Sie die Determinante und alle 9 Kofaktoren von A
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 }[/mm]
>
> Bilden Sie die 3 x 3 Matrix T, deren i,j-Eintrag der
> Kofaktor [mm]A_{ji}[/mm] ist. Verifizieren Sie, dass AT = (det A)I.
> Berechnen Sie [mm]A^{-1}.[/mm]
> Hallo!
> Bräuchte mal einen kleinen Anstoß zum letzten Teil dieser
> Aufgabe. Weiß nicht, ob ich richtig liege. Das T in der
> Aufgabenstellung steht doch für die transponierte Matrix
> oder? Es ist auf meinem Blatt nämlich kein richtiges T,
> sondern nur ein halbes und ich kenne diesen Zeichen
> nicht...
Das T in der Aufgabe ist doch genau definiert.
> So... dann fang ich mal an.
>
> det A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 }[/mm] = 20
> Die Rechenschritte brauche ich hier ja jetzt nicht
> aufzuführen.
> Die 9 Kofaktoren sind:
> [mm]A_{1,1}[/mm] = 20
> [mm]A_{1,2}[/mm] = 0
> [mm]A_{1,3}[/mm] = 0
> [mm]A_{2,1}[/mm] = -10
> [mm]A_{2,2}[/mm] = 5
> [mm]A_{2,3}[/mm] = 0
> [mm]A_{3,1}[/mm] = 12
> [mm]A_{3,2}[/mm] = 0
> [mm]A_{3,3}[/mm] = 4
Das könnnte stimmen...
> Dann weiß ich nicht, ob ichs richtig verstanden habe, aber
> die 3 x 3 Matrix T müsste sein: AT = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 }[/mm]
Was du hingeschrieben hast, ist [mm] A^T.
[/mm]
> So und dann komm ich nicht so recht weiter.
> AT = (det A)I
> AT ist also meine transponierte Matrix?? Stimmt das? Und I
> ist meine inverse Matrix.
Nein, I ist die (3x3-)Einheitsmatrix.
> Das Produkt aus det A und meiner
> inversen Matrix ist also meine transponierte Matrix? Klingt
> ja eigentlich logisch, aber ich bin mir nicht ganz sicher.
>
> Wie berechnet man [mm]A^{-1}?[/mm]
Das kannst du aus der Gl. AT = (det A)I ablesen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Also ist [mm] A^{T} [/mm] = T? Also die transponierte Matrix?
Was ist dann AT? Das Produkt aus A und der transponierten Matrix von A?
|
|
|
| |
|
> Also ist [mm]A^{T}[/mm] = T? Also die transponierte Matrix?
>
> Was ist dann AT? Das Produkt aus A und der transponierten
> Matrix von A?
Hallo,
nun hör mal auf wie wild im mathematischen Kochtopf zu quirlen.
Atme erstmal tief durch.
Und dann lies in Ruhe den Aufgabentext und beantworte die Frage, was dort - also im Text - über T steht. Wie sollst Du die bilden?
Schreib sie hin.
Du hast nun eine Matrix A und eine Matrix T.
Die beiden sollst Du multiplizieren.
Dann sollst Du nachgucken - also nachrechnen -, ob bei AT dasselbe herauskommt wie bei det(A)*Einheitsmatrix.
Wenn Du all das getan hast, kannst Du noch über [mm] A^{-1} [/mm] nachdenken.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Super! Auf die Idee, den Aufgabentext mal genau durchzulesen, bin ich auch schon gekommen. Danke für den äußerst hilfreichen Tipp.
Ich will doch nur wissen, was genau gemeint ist mit der Matrix T, deren i,j-Eintrag der Kofaktor von [mm] A_{ji} [/mm] ist.
Die transponierte Matrix scheints ja schonmal nicht zu sein.
Hab ja auch nicht umsonst die 9 Kofaktoren ausgerechnet, deshalb hab ich versucht T so aufzustellen:
[mm] \pmat{ 4 & 0 & -12 \\ 0 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & 20 } [/mm]
detA * I ist aber doch: 20*
[mm] \pmat{ 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
daher kann mein T ja nicht stimmen. Kann mir jemand mal T bilden? Ich komm einfach nicht drauf.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Super! Auf die Idee, den Aufgabentext mal genau
> durchzulesen, bin ich auch schon gekommen. Danke für den
> äußerst hilfreichen Tipp.
Gern geschehen. Du erwecktest bisher leider nicht den Eindruck, daß Du schon auf die Idee gekommen warst.
Den Eindruck, wohlgemerkt. Die Realität kann natürlich gelegentlich davon abweichen.
> Ich will doch nur wissen, was genau gemeint ist mit der
> Matrix T, deren i,j-Eintrag der Kofaktor von [mm]A_{ji}[/mm] ist.
Du sollst die Matrix T so bilden,indem Du in die i-te Zeile/j-te Spalte [mm] A_j_i [/mm] einträgst.
Die [mm] A_j_i [/mm] hast Du doch ausgerechnet.
> Die transponierte Matrix scheints ja schonmal nicht zu
> sein.
Es kommt immer drauf an wovon. Die Transponierte von A ist's nicht, aber es ist die Transponierte der Matrix, die an der Stelle [mm] _i_j [/mm] den Eintrag [mm] A_i_j [/mm] hat.
> Hab ja auch nicht umsonst die 9 Kofaktoren ausgerechnet,
> deshalb hab ich versucht T so aufzustellen:
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & -12 \\ 0 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & 20 }[/mm]
Das ist ja schonmal gut gemeint.
Aber Du hattest doch z.B. ausgerechnet [mm] A_1_1=20.
[/mm]
Das soll doch an die Position [mm] _1_1, [/mm] also oben links.
$ [mm] A_{2,1} [/mm] $ = -10 gehört an den Platz [mm] _1_2, [/mm] also 1.Zeile/2.Spalte
usw.
> detA * I ist aber doch: 20*
> [mm]\pmat{ 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> daher kann mein T ja nicht stimmen. Kann mir jemand mal T
> bilden? Ich komm einfach nicht drauf.
Wenn Du's genau nach Vorschrift machst, wird's schon klappen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Super vielen vielen Dank! Ich bin manchmal schwer von Begriff  aber jetzt habe ich es verstanden.
Mein T ist also [mm] \pmat{ 20 & -10 & -12 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Somit stimmt auch meine Formel. :) Vielen Dank Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | zipp |
Hallo erstmal !
Ich habe folgende Frage. Und zwar ich habe gleiche Aufgabe und habe versucht erstmal selbst zu lösen. Bei mir kommt aber bei der Berechnung von Kofaktoren an der Stelle [mm] a_{2,1} [/mm] eine 10 und nicht -10 wie es in deiner Lösung steht. Deswegen komme ich nicht weiter bei der nächsten Aufgabe, wo ich AT = (det A)I zeigen muss. Kann mir jemand mal zeigen was ich falsch gemacht habe ?
[mm] Kofaktor_{2,1} [/mm] = det [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 0 & 5} [/mm] = 2*5-0*3 = 10. Oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Der Kofaktor ist -10, weil das Vorzeichen [mm] (-1)^{2+1}=-1 [/mm] ist
Die Formel ist ja [mm] A_{i,j}=(-1)^{i+j}*M_{i,j}. [/mm] Denk an das Schachbrettmuster!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 19.11.2008 | | Autor: | zipp |
jaaaa. natürlich))))) wie konnte ich den vergessen ?!? danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 17.11.2008 | | Autor: | strangelet |
Hallo,
damit du dich beim Fehlersuchen nicht quälst [mm] A_{3,1} = -12 [/mm] .-)
S.
|
|
|
|
