Tschebyscheff-Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses sollen die ersten 1000 Einsender einer Bestellung eine Damen bzw. Herrenarmbanduhr als Geschenk erhalten. Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fühlen.
Benutzen Sie die Chebyshevsche Ungleichung, um abzuschätzen, wie viele Damen bzw. Herrenuhren das Kaufhaus vorrätig haben sollte, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% alle 1000 Einsender eine passende Uhr erhalten. |
Hallo Zusammen,
die Tschebyscheff-Ungleichung lautet:
[mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) \le \bruch {V(X)}{\varepsilon^{2}}
[/mm]
Mein Ansatz zu der Aufgabe lautet:
n=1000
[mm] p=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \mu=np=500
[/mm]
[mm] \sigma=\wurzel{npq}=\wurzel{250}
[/mm]
V(X)=250
Leider weiß ich überhaupt nicht, was hier [mm] \varepsilon [/mm] sein soll und auch nicht wie ich die 98% in die Formel unterbringen soll.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß, Steffy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 05.08.2007 | | Autor: | r2Tobias |
mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel457/ - 7k-
hoffentlich hilfts weiter
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 05.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Steffy,
Schauen wir uns doch noch mal die Ungleichung an:
[mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) \le \bruch {V(X)}{\varepsilon^{2}}
[/mm]
Die linke Seite bedeutet wörtlich ausformuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X um [mm] \varepsilon [/mm] oder mehr als [mm] \varepsilon [/mm] vom Erwartungswert E(X) abweicht
Aus dieser Aussage kann man erkennen, dass du eigentlich [mm] \varepsilon [/mm] berechen sollst, also die Anzahl an Uhren (jeweils pro Sorte), die zusätzlich zum Erwartungswert 500 bereitgehalten werden sollte.
Also noch mal anders formuliert: Wenn [mm] 500+\varepsilon [/mm] Herren/Damenuhren bereitgehalten werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Uhren nicht ausreichen [mm] P(X\ge E(X)+\varepsilon).
[/mm]
Mit noch einer Abschätzung:
[mm] P(X\ge E(X)+\varepsilon)=P(|X-E(X)|\ge \varepsilon)+P(X
(Die Wahrscheinlichkeit, die ganz rechts steht, ist ja die aus der T.-Ungleichung)
So, jetzt wissen wir also, was [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Jetzt zur eigentlichen Abschätzung: Eigentlich soll [mm] $P(X\ge E(X)+\varepsilon) \le [/mm] 0,02 $ sein.
(Die Umkehrung von mindestens 98% sollen eine Uhr erhalten ist ja höchstens, aber nicht genau 2% sollen keine Uhr erhalten).
In diese Ungleichung schieben wir jetzt die Tschebyschew-Ungleichung ein:
[mm] $P(X\ge E(X)+\varepsilon) \le P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) \le \bruch {V(X)}{\varepsilon^{2}}\le [/mm] 0,02$
D.h. es reicht zu zeigen, dass die rechte Seite der T.-Ungleichung echt kleiner als 2% ist, dann ist auch [mm] $P(X\ge E(X)+\varepsilon) \le [/mm] 0,02$.
Also musst du eigentlich nur diese Ungleichung nach [mm] \epsilon [/mm] auflösen: [mm] \bruch {V(X)}{\varepsilon^{2}}) \le [/mm] 0,02
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen, ansonsten einfach noch mal nachfragen!
Gruß,
Vreni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo Vreni,
wenn ich die letzte Gleichung aus deiner Antwort nach [mm] \varepsilon [/mm] umstelle, erhalte ich [mm] \varepsilon [/mm] = 111,8.
Mein Prof hatte aber als Lösung 611 angegeben.
Hab ich da was falsch gemacht???
Danke im voraus für deine Hilfe.
Steffy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 05.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Steffy,
ich habe die Rechnung nicht selbst ausgeführt, denke aber, dass
Deine 111 kein Widerspruch zu den 611 Deines Professors sind:
Bedenke, dass das [mm] \varepsilon [/mm] eine Abweichung vom
Erwartungswert (nämlich 500 männliche und 500 weibliche Besteller)
darstellt. Wenn der Erwartungswert sicher getroffen wird kann
die Firma einfach 500 Frauenuhren und 500 Männeruhren bestellen
und ists zufrieden.
Aber sie rechnet mit einem Männer- oder Frauen-Überschuss von
bis zu 111 Uhren. Darum stellt sie Sicherheitshalber
500+111=611 Männer- und 500+111=611 Frauenuhren bereit.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Danke.
Den Gedanken hat ich gar nicht miteinbezogen.
Ich muss aber gestehen, dass ich diese T-Ungleichung ziemlich schwierig finde.
Gruß, Steffy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 05.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Dann Verweise ich Dich nocheinmal auf die erste Antwort von
Vreni. Sie hat die qualitative Bedeutung der Ungleichung nämlich
wirklich schön formuliert!
"Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X um $ [mm] \varepsilon [/mm] $ oder mehr als $ [mm] \varepsilon [/mm] $ vom Erwartungswert E(X) abweicht
ist kleiner oder gleich [mm] V(X)/\varepsilon^2"
[/mm]
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