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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
n! [mm] \le 2*(\bruch{n}{2})^n [/mm] |
Hallo!Hier also mein Problem(chen):
Wir sollen das mit Induktion beweisen.
Mein Anfang: n=1
Ist einfach, setzt man ein und es ist eine wahre Aussage (1=1).
Nun nehme ich an, dass das für alle n gilt.
Jetzt muss ich noch zeigen, dass das für n+1 gilt.
Also einsetzen:
(n+1)! [mm] \le 2*(\bruch{n+1}{2})^{n+1}
[/mm]
nach Definition ist (n+1)! = n!*(n+1)
[mm] 2*(\bruch{n+1}{2})^{n+1} [/mm] = [mm] 2*(\bruch{n+1}{2})^{n}*(\bruch{n+1}{2})
[/mm]
= [mm] (\bruch{n+1}{2})^{n}*(n+1)
[/mm]
also könnte ich jetzt schreiben:
n!*(n+1) [mm] \le (\bruch{n+1}{2})^{n}*(n+1)
[/mm]
wenn ich jetzt auf beiden Seiten der Ungleichung (n+1) dividiere, bekomme ich:
n! [mm] \le (\bruch{n+1}{2})^{n}
[/mm]
und an dieser Stelle komme ich nicht weiter, hab mich sicher irgendwo eher verrannt.
Ich bitte Euch einfach mal um einen Tipp oder Hinweis, muss (darf!) nicht gleich die ganze Lösung sein.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo limes,
Bisher richtig bleibt noch zu zeigen
[mm] $2*(\bruch{n}{2})^{n}\le (\bruch{n+1}{2})^{n}$
[/mm]
oder
[mm] $2*n^n \le (n+1)^n$
[/mm]
Als Tipp  Binomischer Lehrsatz
viele Grüße
mathemaduenn
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